Aufgaben:

1. 1. Zeige: Ist der Quotient aufeinanderfolgender Glieder $\neq$ 1 und a das Anfangsglied der Folge, dann gilt: S(n) = a + a₁ +...+ a_n-1 = a ^. $${\frac{{1-q^n}}{{1-q}}}$$.
   2. Vier Zahlen bilden eine geometrische Folge. Die Summe der äußeren Glieder ist 12, die der inneren ist 8. Wie heißen die Zahlen?
   3. Zwischen die Zahlen 1 und 2 sollen 11 Zahlen eingefügt werden, dass eine geometrische Folge entsteht. Wie heißen die Zahlen?
   4. Die Summe einer geometrischen Folge mit 5 Gliedern ist 31; das Anfangsglied ist 1. Wie heißt die Folge?
   5. Wie stehen Sie zu folgendem Satz aus der Physik des Aristoteles. (Zitiert aus dem Buch von Oskar Becker [#!Becker!#, Seite 45] ,,Wenn ich zu einem Begrenztem immerfort etwas hinzufüge, werde ich schließlich jedes Begrenzte übertreffen, und wenn ich etwas (in der entsprechenden Weise) wegnehme, werde ich in ähnlicher Weise (jedes Begrenzte) unterschreiten.``
   6. ,,Wenn aber das Verhältnis des (nacheinander schrittweise)

      Hinzugefügten (zum unmittelbar vorhergehenden Zuwachs) derart vergrößert wird, dass das Hinzugefügte immer dieselbe Größe umfaßt, wird die (auszufüllende) Größe zu Ende gebracht, weil jedes Begrenzte durch jedes Abgegrenzte erschöpft wird (nämlich, wenn dieses oft genug von jenem weggenommen wird).

2. Untersuchen Sie ob die Folge (a_n), und wenn ja in welche Richtung beschränkt ist?
   1. (a_n) = (n - 1) ^. (n + 1).
   2. (a_n) = $$\left(\vphantom{\frac{2n-1}{n+1}}\right.$$$${\frac{{2n-1}}{{n+1}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{2n-1}{n+1}}\right)$$.
   3. (a_n) = $$\left(\vphantom{\frac{2n^3-4n^2+1}{n^3}}\right.$$$${\frac{{2n^3-4n^2+1}}{{n^3}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{2n^3-4n^2+1}{n^3}}\right)$$.
   4. (a_n) = $\left(\vphantom{n + \displaystyle \frac{100}{n}}\right.$n + $${\frac{{100}}{{n}}}$$$\left.\vphantom{n + \displaystyle \frac{100}{n}}\right)$.
3. Durch die Rekursionsvorschrift a₁ : = $${\frac{{1}}{{2}}}$$, a_n+1 = $${\frac{{2a_n}}{{1+a_n}}}$$ ist für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ eine Folge definiert. Zeigen Sie, dass (a_n) monoton wächst und nach oben und unten beschränkt ist. Schreiben Sie ein Programm zur Berechnung der Folge.
4. Gegeben sei eine beliebige Zahl y > 0. Zeige: Zu a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a$\le$r ^. y < b.