Folgen, rekursive Definition von Folgen

Definition 1.2.1   Eine Funktion f : $\mbox{$\mathbb N$}$ $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ heißt reelle Zahlenfolge.

Bezeichnung: Ist f (n) = a_n, so bezeichnen wir die Folge auch mit (a_n).

Beispiele:

1. f : $\mbox{$\mathbb N$}$ $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$, f (n) = ${\frac{{4}}{{n+1}}}$.
2. f (n) = (- 1)^{n .} 2ⁿ.
3. f (1) = 1 und f (n + 1) = f (n) für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.
4. f (1) = 1 und f (n + 1) = f (n) + (n + 1).
5. f (1) = 1 und f (n + 1) = ${\frac{{1}}{{2}}}$f (n).
6. f (1) = 2 und f (n + 1) = f (n) + f (1).

Berechne jeweils eine Wertetabelle und zeichne den Graph der Folge.

Definition 1.2.2   Eine Funktion f : A $\rightarrow$ B heißt monoton wachsend, wenn für alle a, b $\in$ A gilt: a$\le$b$\mbox{$\Longrightarrow $}$f (a)$\le$f (b). Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ gilt a_n < a_n+1

Beispiele:

f : [0,$\infty$[ $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$, f (x) = x² ist monoton wachsend. Entsprechend erklärt man den Begriff ,,monoton fallend``

Definition 1.2.3   Eine Funktion f : A $\rightarrow$ B heißt echt monoton wachsend, wenn für alle a < b auch f (a) < f (b) gilt. Ungleichheitszeichen bleiben also erhalten.

Definition 1.2.4   Eine Menge M von reellen Zahlen heißt nach oben beschränkt, wenn es ein o_s $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ gibt, so dass für alle x $\in$ M gilt: x$\le$o_s. M heißt nach unten beschränkt, wenn es ein u_s gibt, so dass für alle y $\in$ Mgilt: u_s$\le$y.

Ist die Welt der natürlichen Zahlen innerhalb des Raumes der reellen Zahlen beschränkt, oder ist sie durch eine undurchdringliche Mauer abgeschlossen jenseits der es keine einzige natürliche Zahl, das heißt Zählzahl gibt. Gibt es anders ausgedrückt in der Welt der reellen Zahlen Individuen, die durch noch so langes Zählen, seit dem Urknall nicht zu erreichen sind. Archimedes von Syrakus (geb. um 287 vor Ch. gest. 212 vor Ch.) war sogenannter Zähloptimist. Er behauptete Nein!. Bist du nur fleißig genug, so erreichst du schließlich jede Zahl, wenn nicht in diesem, dann in jenem Leben. Unereichbare unendlich große Zahlen gibt es nicht. Oder man könnte sagen, er war Zähldemokrat. Vor der Unendlichkeit sind alle Zahlemn gleich. Die Zahlen sind eine klassenlose Gesellschaft. Von ihm stammt folgender Satz:

Satz 1.2.1 (Archimedes von Syrakus)   Äquivalent sind folgende Aussagen:

1. $\mbox{$\mathbb N$}$ ist nach oben unbeschränkt. Anders ausgedrückt: Es gibt keine übergroßen reellen Zahlen.
2. Ist h > 0 und r $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$, dann gibt es ein n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit n ^. h > r. (Auch mit kleinsten Schritten erreicht der Zähe sein beliebig weit entferntes Ziel. Steter Tropfen höhlt den Stein.)
3. Zu jeder reellen Zahl h > 0 gibt es ein n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit $${\frac{{1}}{{n}}}$$ < r. (Unendlich kleine Zahlen gibt es nicht. Seltsam die Wissenschaft von der endlosen Ferne hängt zusammen mit dem Wissen über das unendlich Nähe.)
4. Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen gibt es stets eine rationale Zahl.

Beweis:1. $\Longrightarrow$2.: Sei h > 0 und c eine sehr große Zahl. Nach Teil 1. kann ${\frac{{c}}{{h}}}$ keine obere Schranke von $\mbox{$\mathbb N$}$ sein. Also gibt es ein n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit n > ${\frac{{c}}{{h}}}$ damit ist n ^. h > c. Das war zu zeigen.

2. $\Longrightarrow$3. Sei h eine winzig kleine Zahl. Dann gibt es ein n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit n ^. h > 1. Damit ist ${\frac{{1}}{{n}}}$ < h.

3. $\Longrightarrow$1.: Sei c beliebig aus der Menge der positiven reellen Zahlen. Wir zeigen: c kann keine obere Schranke von $\mbox{$\mathbb N$}$ sein. Es ist ${\frac{{1}}{{c}}}$ > 0. Also gibt es nach Teil 3. ein n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit ${\frac{{1}}{{n}}}$ < ${\frac{{1}}{{c}}}$. Damit ist c < n. Und daher ist c keine obere Schranke von $\mbox{$\mathbb N$}$.

1. $\Longrightarrow$4.: Da die Äquivalenz von 1.,2. 3. schon gezeigt worden ist, kann 2. und 3. mitverwendet werden. Wir zeigen die Behauptung nur für positive Zahlen a < b. Der Rest kann sich jeder einfach selber überlegen. Sei also 0 < a < b. Nun gibt es nach Teil 3) eine natürliche Zahl n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$, so dass ${\frac{{1}}{{n}}}$ < b - a ist. Auf dieses ${\frac{{1}}{{n}}}$ wenden wir die Eigenschaft 2) an. Es gibt also ein kleinstes m, so dass m ^. ${\frac{{1}}{{n}}}$$\ge$a ist. Wäre m ^. ${\frac{{1}}{{n}}}$ > b, so wäre m ^. ${\frac{{1}}{{n}}}$ - ${\frac{{1}}{{n}}}$ = (m - 1) ^. ${\frac{{1}}{{n}}}$ > b - ${\frac{{1}}{{n}}}$ > b - (b - a) = a. Das ist aber ein Widerspruch. Also gilt a$\le$${\frac{{m}}{{n}}}$ < b . Das wurde behauptet.

4. $\Longrightarrow$1.: Ist klar. $\Box$

Zitate:

,,Wenn ich die kurze Dauer meines Lebens betrachte, verschlungen in die Ewigkeit, die ihm vorangeht und ihm folgt, den kleinen Raum, den ich ausfülle, und selbst jenen, den ich erblicke, der in der grenzenlosen Weite der Räume versinkt, von denen ich nichts weiß und die von mir nichts wissen, dann erschrecke ich und wundere mich darüber, dass ich nicht eher hier als dort erlebe; denn es gibt keinen Grund, warum ich eher hier bin als dort; warum eher jetzt als früher einmal`` Blaise Pascal:Le coeur et ses raisons.

1. Berechne die ersten 10 Glieder der Folge (a_n) und zeichne den Graph der Folge:

   (a) (an) = $\left(\vphantom{\frac{2n+3}{2+n}}\right.$${\frac{{2n+3}}{{2+n}}}$$\left.\vphantom{\frac{2n+3}{2+n}}\right)$.	(b) (an) = $\left(\vphantom{\frac{3-n}{2+n}}\right.$${\frac{{3-n}}{{2+n}}}$$\left.\vphantom{\frac{3-n}{2+n}}\right)$.
   (c) (an) = (1 + 5 . (- 1)n . ${\frac{{1}}{{n}}}$)	(d)(an) = $\left(\vphantom{\frac{4n+10}{n^2+1}}\right.$${\frac{{4n+10}}{{n^2+1}}}$$\left.\vphantom{\frac{4n+10}{n^2+1}}\right)$.

2. Durch die Rekursionsvorschrift a₁ : = 3, a_n+1 : = ${\frac{{1}}{{2}}}$ ^. (a_n + ${\frac{{4}}{{a_n}}}$) für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist eine Folge a_n definiert. Berechnen Sie die ersten 8 Glieder der Folge und zeichnen Sie den Graphen der Folge.
3. Die Folge (a_n), die durch die rekursive Definition a₁ : = 1, a₂ : = 1 und a_n+2 : = a_n+1 + a_n heißt Fibionacci (Sohn des Bonacci) Folge. Eigentlich hieß er Leonardo von Pisa geboren um 1170 gestorben um 1250. Er eignete sich auf einer Handelsreise in den Orient das grieschiche und arabische mathematische Wiseen seiner Zeit an. Er war der erste, der konsequent die arabischen Ziffern verwendetet. Damit zeigte er die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems. Er leß als erster den Grauch der ,,0`` zu. Er löste al erster kubische Gleichungen und führte damit weit seiner Zeit voraus die Mathematik auf fruchtbaren Boden. Bestimme die ersten 15 Glieder der Folge. Beweise die folgenden Beziehungen zwischen den Gliedern der Folge.
   1. a₁ + a₃ +...+ a_2n+1 = a_2n+2
   2. a₁² + a₂² +...+ a_n² = a_n ^. a_n+1.
   3. 1 + a₁ + a₂ +...+ a_n = a_n+2.
4. Wieviel Lösungen hat die Gleichung?
   1. X + Y + Z = 1992 mit X, Y, Z $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$?
   2. X + 5Y = 1992 mit X, Y $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$?
   3. 3X + 2Y = 1992 mit X, Y $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.
5. Untersuche ob die Folgen monoton wachsend beziehungsweise monoton fallend oder keins von beidem sind.

   (a) (a_n) = $\left(\vphantom{\frac{n-1}{n+1}}\right.$${\frac{{n-1}}{{n+1}}}$$\left.\vphantom{\frac{n-1}{n+1}}\right)$. (b) (a_n) = (n² + 2n - 1).

   (c) (a_n) = $\left(\vphantom{\frac{2n-1}{n+1}}\right.$${\frac{{2n-1}}{{n+1}}}$$\left.\vphantom{\frac{2n-1}{n+1}}\right)$. (d) (a_n) = $\left(\vphantom{\frac{3n-1}{n^2+1}}\right.$${\frac{{3n-1}}{{n^2+1}}}$$\left.\vphantom{\frac{3n-1}{n^2+1}}\right)$.

   (e) (a_n) = (n³ -2n²).

Definition 1.2.5   Eine Folge (a_n) heißt arithmetisch, wenn die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder stets konstant ist. Wenn es also ein d $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ gibt mit d = a_n+1 - a_n für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.