Nullfolgen

Was bedarf es langen Redens? Es steht ja auch in Zenons Schrift selbst. Zenon schreibt nämlich da, wo er wieder zeigt, dass die Vielheit den Widerspruch der Begrenztheit und Unbegrenztheit identischer Dinge einschließt, wörtlich folgendes: ,,Wenn Vieles ist, so müssen notwendig gerade soviele Dinge sein, als wirklich sind, nicht mehr, und nicht minder. Wenn aber soviele Dinge sind, als eben sind, so dürften sie (der Zahl nach) begrenzt sein.

Wenn Vieles ist, so sind die seienden Dinge (der Zahl nach) unbegrenzt. Denn stets sind andere zwischen den seienden Dingen und wieder andere zwischen jenen. Und somit sind die seienden Dinge (der Zahl nach) unbegrenzt.``

Der Philosoph Anaxagoras (ungefähr 500 v. Christus) sagt in einem Fragment: Denn weder gibt es beim Kleinen ja ein Keinstes, sondern stets ein noch Kleineres (denn es ist unmöglich, dass das Seiende [durch Teilung] zu sein aufhöre) - aber auch beim Großen gibt es immer ein Größeres. [#!Becker!#, Seite 42]

Wir betrachten die Folge (a_n) : = ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$. Bis auf endlich viele sind alle Folgenglieder $\le$${\frac{{1}}{{100}}}$. Dies sieht man so: ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$$\le$${\frac{{1}}{{100}}}$$\iff$10000$\le$n.

Wir führen folgende Sprechweise ein:

Definition 1.2.7   Fast alle natürlichen Zahlen haben die Eigenschaft E genau dann, wenn höchstens endlich viele natürlichen Zahlen diese Eigenschaft nicht haben.