Aufgaben:

1. Bestimme die Monotoniebereiche der folgenden Funktionen.
   1. f (x) = x³ -3x² + 4x + 1.
   2. f (x) = x³ - 3x.
   3. f (x) = x⁴ - x³.
   4. f (x) = x - ${\frac{{1}}{{x^2}}}$.
   5. f (x) = x² + ${\frac{{2}}{{x}}}$.
2. Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
   1. 3x³ +2x² -13x + 8 > 0 für x > 1.
   2. 4x⁴ +6x³ -12x³ -10x + 12 > 0 für x > 0.
3. Untersuche die ganzrationalen Funktionen auf Nullstellen, Monotoniebereiche, Extremstellen und Wendepunkte. Zeichne den Graphen.
   1. f (x) = x³ - 6x.
   2. f (x) = x³ -3x².
   3. f (x) = x³ + 2x.
   4. f (x) = (x³ - 1)(x + 2).
   5. f (x) = x(x² -2)(x² + 1).
4. Der Graph der ganzrationalen Funktion f hat mindestens einen Wendepunkt. Gib die Gleichungen der Wendetangenten an.
   1. f (x) = ${\frac{{1}}{{3}}}$x³ - 2x.
   2. f (x) = x³ -6x² + 9x - 4.
   3. f (x) = ${\frac{{1}}{{4}}}$x⁴ - ${\frac{{2}}{{3}}}$x³ - 1.

Eine Gerade berührt einen Funktionsgraphen, wenn sie Tangente an den Funktionsgraphen ist.

1. Bestimme eine ganzrationale Funktion 3ten Grades, welche die x Achse im Ursprung berührt und deren Tangente im Punkt P(- 1| 8) die Steigung -9 hat.
2. Bestimme eine ganzrationale Funktion 3ten Grades, die im Punkt P(2| 5) eine horizontale Tangente und im Punkt Q(1| 3) ihren Wendepunkt hat.
3. Bestimme eine ganzrationale Funktion 3ten Grades, die durch den Ursprung geht, ihren Wendepunkt im Punkt P(- 1, 1) hat, während die Wendetangente die x- Achse im Punkt Q(2, 0) schneidet.
4. Bestimme a so, dass der Funktionsgraph die x Achse berührt.
   1. f (x) = x³ -3 ^. x + a.
   2. f (x) = x³ - a ^. x + 4.
5. Unter der Normalen versteht man die Senkrechte auf der Tangenten im Berührpunkt. Gegeben ist eine ganzrationale Funktion 4ten Grades der Form f (x) = x⁴ + a ^. x³ + b ^. x². Die Gleichung der Normalen an der Stelle x = 1 lautet x + 12y - 109 = 0. Man berechne a und b.
6. Der Graph einer ganzrationalen Funktion 5ten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung. (Null Punkt) Im Ursprung ist die Gerade y = 6x eine Tangente und im Punkt P(1| - 1) ist ein Wendepunkt. Wie lautet die Gleichung der Funktion?
7. Bei einem gleichschenkligen Trapez ist der Schenkel 2cm und die Decklinie 3cm. Wie groß muß die Grundlinie sein, damit der Flächeninhalt maximal ist? Löse die Aufgabe auch allgemein.
8. Aus einem Rechteck mit der Länge 8cm und der Breite 5cm erhält man durch Wegschneiden von vier gleichgroßen Quadraten an den Ecken und Auffalten der vorstehenden Rechtecke eine Schachtel ohne Deckel. Wie groß muß die Seite der weggeschnittenen Quadrate sein, damit das Fassungsvermögen der Schachtel maximal ist. Löse die Aufgabe auch allgemein.(Seiten a,b).
9. Wie hoch ist der einer Kugel mit dem Radius r einbeschriebene Zylinder mit maximaler Mantelfläche?
10. Wie hoch ist der einer Kugel mit dem Radius r einbeschriebene Kegel.
    1. mit maximalem Volumen,
    2. Mit maximaler Mantelfläche?

11. Wie lang ist die Grundkante eines einer Kugel mit dem Radius r einbeschriebenen quadratischen Prismas?
    1. mit maximalem Volumen,
    2. mit maximaler Mantelfläche?