Kettenregel

Satz 3.4.1 (Kettenregel)   Sei f : A $\rightarrow$ B und g : B $\rightarrow$ C Funktionen. f sei differenzierbar an der Stelle s und g sei differenzierbar an der Stelle f (a). Dann ist gof differenzierbar an der Stelle a und es gilt (gof )'(a) = g'(f (a)) ^. f'(a).

Beweis:Zunächst führen wir den Beweis nur in dem besonders einfachen Fall durch, dass f monoton wachsend ist. Wir betrachten wieder die Sekantensteigungsfunktion.

$${\frac{{g(f(x))-g(f(a))}}{{x-a}}} {\frac{{g(f(x))-g(f(a))}}{{f(x)-f(a)}}} {\frac{{f(x)-f(a)}}{{x-a}}}$$ (3.1)

Ist x $\neq$ a, so ist f (x) $\neq$ f (a), da f streng monoton wachsend vorausgesetzt ist. Ist (a_n) eine Folge, deren Limes a ist, so ist $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n) = f (a). Die Folge (y_n) = (f (a_n)) ist daher eine Folge mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n) ist also eine Folge mit dem Grenzwert f (a). Da g an dieser Stelle differenzierbar ist, konvergiert der erste Faktor in der obigen Gleichung 3.1 gegen g'(f (a))'. Da f differenzierbar an der Stelle a ist, konnvergiert der zweite Faktor in gegen f'(a). Damit folgt die Behauptung des Satzes. $\Box$