Eigenschaften differenzierbarer Funktionen

Definition 3.3.1   f hat an der Stelle a ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U$\scriptstyle \epsilon$(a) : {x|| x - a| < $ \epsilon$} gibt, so dass für alle x $ \in$ U$\scriptstyle \epsilon$(a) gilt: f (x)$ \le$f (a). Entsprechend erkärt man den Begriff des lokalen Minimums.

Satz 3.3.1   Es liege a im Innern des Definitionsbereiches von f : $ \mathbb {D}$ $ \rightarrow$ $ \mathbb {R}$. Ist f an der Stelle a differnzierbar und hat f dort einen lokalen Extremwert, so ist f'(a) = 0.

Beweis:Sei (an) die Folge (a + $ {\frac{{1}}{{n}}}$). Dann gilt:

$\displaystyle \lim\limits_{{n \to\infty}}^{}$$\displaystyle {\frac{{f(a+\frac{1}{n})-f(a)}}{{\frac{1}{n}}}}$ = f'(a).

Da f an der Stelle a einen lokales Maximum hat, sind fast alle Folgenglieder $ \le$ 0. Also ist der Grenzwert f'(a)$ \le$ 0. Betrachte man die Folge a - $ {\frac{{1}}{{n}}}$, so ergibt sich f'(a)$ \ge$ 0. Zusammen ergibt sich, dass f'(a) = 0 ist. $ \Box$


Unterabschnitte
Andreas Bartholome
2003-11-26