Aufgaben:

1. Zeichne den Garphen von f und berechne die lokalen Extremwert:
   1. f : $\mathbb {R}$ $\ni$ x $\mapsto$ x³ -6x $\in$ $\mathbb {R}$.
   2. f : $\mathbb {R}$ $\ni$ x $\mapsto$ x³ - x² +2 $\in$ $\mathbb {R}$.
   3. f : $\mathbb {R}$ $\ni$ x $\mapsto$ x⁴ -2x² $\in$ $\mathbb {R}$.
   4. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ x⁴ - x² $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
   5. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ x³ +3x $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
   6. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\setminus$ {0} $\ni$ x $\mapsto$ x + ${\frac{{1}}{{x}}}$ $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
   7. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\setminus$ {0} $\ni$ x $\mapsto$ x² + ${\frac{{1}}{{x}}}$ $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
2. Durch jeweils einen geraden Schnitt wird von den Rechtecken mit gleicher Länge (z.B. 30 cm), aber verschiiedener Breite ein Quadrat abgetrennt. Bei welchem Rechteck ist die übrigbleibende Fläche am größten?
3. Einem Quadrat sind gleichschenklige Dreiecke so einbeschrieben, dass ihre gemeinsame Spitze in einem Eckpunkte des Quadrates liegt. Welches Dreieck hat den größten Flächeninhalt?
4. Dem Dreieck $\triangle$ABC, das durch die Seiten $\overline{{AB}}$ = c, $\overline{{AC}}$ = b und den eingeschlossenen Winkel $\alpha$ bestimmt ist, sind Parallelogramme einbeschrieben, die mit dem Dreieck den Eckpunkt A und den Winkel $\alpha$ gemeinsam haben. Welches der Parallelogramme hat den größten Flächeninhalt.
5. Vier gleich lange Stangen von der Länge 3m sollen die Seitenkanten einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche bilden. Für welche Höhe wird der Pyramideninhalt am größten, und wie groß ist der Inhalt der größten Pyramide?
6. Bestimme den Hoch und den Tiefpunkt des Graphen der Funktion g : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ || x| - 1| $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
7. Seien f, g zwei Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich $\mathbb {D}$ Zeige:
   1. Haben f und g an der Stelle a ein lokales Maximum (minimum), so hat (f + g) dort ein lokales Maximum (Minimum).
   2. Ist die Zielmenge von f, g $\mbox{$\mathbb{R}$}$⁺, und haben f und g bei a ein lokales Maximum, so hat f ^. g bei a ein lokales Maximum.

Den folgenden wichtigen Satz, das Herz der Differentialrechnung, entnehmen wir zunächst der Anschauung.

Satz 3.3.2 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)   Ist f : [a, b] $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ eine im ganzen Intervall differenzierbare Funktion. Dann gibt es ein c $\in$ ]a, b[ mit

f'(c) = $${\frac{{f(b)-f(a)}}{{b-a}}}$$.

Anschaulich bedeutet dies: Zu jeder Sekante gibt es eine parallele Tangente.

Deuten wir die Ableitung als Geschwindigkeit, so besagt der Mittelwertsatz, dass die Momentangeschwindigkeit mindestens zu einem Zeitpunkt gelich der Durchschnittsgeschwindigkeit ist.

Folgerung 3.3.3   f sei eine im Intervall [a, b] differenzierbare Funktion.

1. Ist f'(x) = 0 für alle x $\in$ [a, b], dann ist f konstant.
2. Ist f'(x) > 0 für alle x $\in$ [a, b] dann wächst f streng monoton.
3. Ist f'(x) < 0 für alle x $\in$ [a, b], dann fällt f streng monoton.

Beweis:Seien c < d zwei Zahlen aus dem Definitionsbereich. Dann gibt es ein $\alpha$ $\in$ [c, d] mit f'($\alpha$) ^. (d - c) = f (d )- f (c). Nun ist f'($\alpha$) = 0. Daher ist f (d )= f (c). Die beiden restlichen Behauptungen seien Aufgabe. $\Box$
Wechselt f' das Vorzeichen an der Stelle a, so hat f dort einen Extremwert.

• Vorzeichenwechsel von - nach +: Dann hat f dort ein Minimum.
• Vorzeichenwechsel von + nach -: Dann hat f bei a ein Maximum.

Definition 3.3.2   Der Graph einer Funktion f hat an der Stelle a eine Linkskurve, wenn f' lokal an dieser Stelle monoton steigt. Entsprechend ht der Graph eine Rechtskurve, wenn f' lokal hier monoton fällt. Der Graph hat einen Wendepunkt, wenn f' einen Extremwert hat.