Aufgaben:

1. Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:
   1. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ 2 ^. [x] $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
   2. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ [2 ^. x] $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
   3. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ (- 1)^[x] $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$
   4. f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ x - [3 ^. x] $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$.
2. Wir definieren die Funktion sgn : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ sgn(x) : = $$\begin{cases}1 & \text{ f\uml {u}r } x>0\\ \ 0 & \text{ f... ...1& \text{ f\uml {u}r } x<0 \in \mbox{$\mathbb{R}$} \end{cases}$$
   1. Zeichnen Sie den Graphen von f. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle 0.
   2. Zeigen Sie: Für x $\neq$ 0 ist sgn(x) = ${\frac{{\vert x\vert}}{{x}}}$.
3. Untersuche die folgenden Funktionen auf Stetigkeit an der Stelle a.
   1. a = 0 und f (x) = $$\begin{cases}x^2 &\text{ f\uml {u}r } x\le 0\\ 2x-1& \text{ f\uml {u}r } x>1 \end{cases}$$.
   2. a = 0 und f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ x + sgn(x).
   3. a = 0 und fx) : = $$\begin{cases}0 & \text{ f\uml {u}r } x>0\\ 2^{\frac{1}{x}} &\text{ f\uml {u}r } x>0 \end{cases}$$
   4. a = 0 und f (x) : = $$\begin{cases}\frac{x^3}{x} & \text{ f\uml {u}r } x\neq 0\\ 0 & \text{ f\uml {u}r } x=0 \end{cases}$$
   5. a = 3 und f (x) : = $$\begin{cases}x^2 & \text{ f\uml {u}r } x \neq 3\\ 9 & \text{ f\uml {u}r } x=3 \end{cases}$$
4. Zeige f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ $\ni$ x $\mapsto$ $\sqrt[3]{{x}}$ $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ und g : $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ $\ni$ x $\mapsto$ $\sqrt[4]{{x}}$ $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ sind für alle positiven a $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ stetig.
5. Der folgende Graph ist der Graph der Funktion

   f : $\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\ni$ x $\mapsto$ [x] + $\sqrt{{x-[x]}}$.

   
   

   

   
   

   Man zeige f (x) = [x] + $\sqrt{{x-[x]}}$ ist

   monoton steigend und stetig für alle

   x $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$. Man untersuche

   f (x) = [x] - $$\sqrt{{x-[x]}}$$

   auf Stetigkeit.

6. Sei f (x) : = $$\begin{cases}x & \text{ f\uml {u}r } x \text{ rational }\\ 1-x& \text{ f\uml {u}r } x \text{ irrational}. \end{cases}$$ Diese Funktion ist nur für a = 0.5 stetig. Es gibt aber zu jedem y $\in$ [0, 1] ein x mit f (x) = y.
7. Jede reelle Zahl läßt sich als unendlicher Dezimalbrauch schreiben. Das heißt jede reelle Zahl aus dem Intervall [0, 1] ist von der Form $\sum\limits_{{i=1}}^{{\infty}}$a_i${\frac{{1}}{{10^i}}}$ mit a_i $\in$ {0, 1,..., 9}. Wir erklären f : [0, 1] $\rightarrow$ [0, 1] durch f ($\sum$a_i10^-i) : = $\sum$a_i100^-i.
   1. Berechne f (0.1) als gewöhnlichen Bruch.
   2. Zeige f ist an der Stelle 0.1 unstetig.
   3. Berechne f (${\frac{{1}}{{3}}}$) und zeige: f ist dort stetig.
   4. Zeige: Ist r eine rationale Zahl aus [0, 1] deren Dezimalbruchentwicklung nicht abbricht, so ist f an der Stelle r stetig.
   5. (Ich weiß keine Antwort auf diese Frage!) Sei a eine reelle, nicht rationale Zahl in [0, 1]. Ist dann f stetig an der Stelle a?.