Globale Stetigkeit

Definition 2.2.1   Ein Funktion f : [a, b] $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ heißt stetig auf dem Intervall, wenn sie für alle c $\in$ [a, b] stetig ist..

Satz 2.2.1 (Zwischenwertsatz)   Sei f : [a, b] $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion, mit f (a) ^. f (b) < 0. Das Vorzeichen von f (a) ist anders als das Vorzeichen von f (b) dann gibt es ein c $\in$ [a, b] mit f (c) = 0.

Anschaulisch besagt dieser Satz: Zeichnet man den Graphen einer stetigen Funktion, beginnt dabei im Negativen und endet im Positiven, so hat man einmal die Nullinie überquert. Graphen stetiger Funktionen können ohne abzusetzen gezeichnet werden. Beweis:Wir liefern einen ganz konstruktiven Beweis. Wir setzen voraus, dass f (a) < 0 und f (b) > 0 ist. Nun definieren wir induktiv drei Folgen. a₀ : = a, b₀ : = b und m₀ : = (a₀ + b₀)/2. Wir nehmen an m_n sei schon definiert. Es sei:

a_n+1 : = $$\begin{cases}m_n &\text{ falls } f(m_n)\le 0\\ a_n & \text{ sonst } \end{cases}$$

b_n+1 : = $$\begin{cases}m_n &\text{ falls } f(m_n)\ge 0\\ b_n &\text{ sonst } \end{cases}$$

a_n ist monoton wachsend und nach oben beschränkt und daher konvergent. Genauso ist b_n monoton fallend und nach unten beschränkt und daher konvergent. Weiterhin ist b_n - a_n = ${\frac{{b-a}}{{2^n}}}$. Also ist b_n - a_n eine Nullfolge. Sei c = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$a_n = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$b_n. Da f stetig ist, ist f (c) = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n)$\le$ 0. Andererseits ist f (c) = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (b_n)$\ge$ 0. Daher ist f (c) = 0. $\Box$
Diesen Beweis kann man fast wörtlich in ein Programm zur Berechnung von Nullstellen übersetzen.

Satz 2.2.2 (Bolzano)   Sei f : [a, b] $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ eine auf dem Definitionsintervall stetige Funktion. Es gibt ein c $\in$ [a, b] und ein d $\in$ [a, b] mit f (c)$\le$f (x) für alle x $\in$ [a, b] und f (d )$\ge$f (x) für alle x $\in$ [a, b]. Man sagt Minima und Maxima werden angenommen.

Der Beweis ist uns an dieser Stelle zu schwer.