Aufgaben:

1. Gegeben ist die Funktion f : $\mathbb {R}$ $\setminus$ -1 $\ni$ x $\mapsto$ ${\frac{{2x+1}}{{x+1}}}$ $\in$ $\mathbb {R}$. Wir definieren rekursiv eine Folge: a₀ : = 0...a_n+1 : = f (a_n).
   1. Berechne die ersten 10 Glieder der Folge.
   2. Zeige: Es gilt: x < f (x)$\iff$x $\in$ ]${\frac{{1-\sqrt{5}}}{{2}}}$,${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$[.
   3. Zeige: Die Folge ist durch ${\frac{{1+\sqrt{5}}}{{2}}}$ nach oben beschränkt.
   4. Zeige die Folge wächst monoton
   5. Berechne unter der Voraussetzung, dass die Folge einen Grenzwert hat diesen Grenzwert.

2. Gegeben sei die logistische Gleichung 1.7 x₀ = 0.2.
   1. Ist 0$\le$r < 1, so hat die Folge (a_n) den Grenzwert 0.
   2. Ist r = 1, so fällt die Folge monoton.
   3. Ist r = 2, so wächst die Folge monoton. Beweise dies indem du folgendermaßen vorgehst. f (x) = 2 ^. (1 - x) ^. x.
      1. a $\in$ [0, 1] dann ist f (a) $\in$ [0,${\frac{{1}}{{2}}}$].
      2. Zeige: Für a $\in$ [0,${\frac{{1}}{{2}}}$] ist a$\le$f (a). Folgere hieraus, dass die Folge monoton wächst.
   4. Berechne allgemein den Scheitel der quadratischen Funktion f (x) = r ^. (1 - x) ^. x in Abhängigkeit von r.