Teilfolgen

Betrachten wir die Folge (${\frac{{n}}{{n+1}}}$) = (${\frac{{1}}{{2}}}$,${\frac{{2}}{{3}}}$,${\frac{{3}}{{4}}}$,${\frac{{4}}{{5}}}$,...). Von ihr wissen wir, dass sie den Grenzwert 1 hat. Suchen wir nur jedes zweite Glied der Folge aus, so erhalten wir die Folge (${\frac{{2}}{{3}}}$,${\frac{{4}}{{5}}}$,${\frac{{6}}{{7}}}$,...) = (${\frac{{2n}}{{2n+1}}}$). Auch diese Folge hat den Grenzwert 1. Genausogut können wir jedes 10te Glied der Folge auswählen. Dies ergibt (${\frac{{10n}}{{10n+1}}}$).

Satz 1.2.10   Sei $\tau$ : $\mbox{$\mathbb N$}$ $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb N$}$ eine streng monoton wachsende Funktion. Dann ist für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$: n$\le$$\tau$(n).

Beweis:Es ist sicher 1$\le$$\tau$(1). Sei die Behauptung richtig für k. Also es gelte k$\le$$\tau$(k). Da $\tau$ streng monoton wachsend ist, ist k$\le$$\tau$(k) < $\tau$(k + 1). Daher folgt: k + 1$\le$$\tau$(k + 1). $\Box$

Definition 1.2.10   Sei $\tau$ : $\mbox{$\mathbb N$}$ $\rightarrow$ $\mbox{$\mathbb N$}$ eine streng monotone Funktion und (a_n) eine reelle Zahlenfolge. Die Folge (a_$\tau$(n)) heißt dann Teilfolge von (a_n)

Satz 1.2.11   Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent und hat den gleichen Grenzwert.

Beweis:Sei a = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$a_n. Weiter sei $\epsilon$ > 0 gegeben. Dann gibt es ein k $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$, so dass für alle n$\ge$k gilt: | a - a_n| < $\epsilon$. Nun ist für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : $\tau$(n)$\ge$n. Das heißt es gilt erst recht: | a - a_$\tau$(n)| < $\epsilon$. Dies bedeutet, dass die Folge (a_$\tau$(n)) gegen a konvergiert. $\Box$

Dieser Satz ist oft hilfreich, um den Grenzwert einer Folge tatsächlich auszurechnen, wenn man weiß, dass die Folge konvergiert.