Spieglung an g

Sei g eine Gerade. Jedem Punkt P der Ebenen wird auf folgende Weise genau ein Punkt P' zugeordnet.

1. Liegt P auf g so ist P' = P.
2. Liegt P nicht auf g, so liegt P auf dem Lot von P auf g. Sei S der Schnittpunkt des Lotes von P auf g mit g. Dann hat P' von S den gleichen Abstand wie P liegt aber auf der anderen Seite.

P' heißt der Bildpunkt von P bei der Spiegelung an g. Wir bezeichnen ihn auch mit S_g(P) = P'. (Spiegelpunkt von P bei Spiegelung an g). Die Gerade g heißt auch Spiegelachse oder Symmetrieachse.

Satz 4.1.1   Sei g eine Gerade und A, B zwei Punkte. Ist S_g die Spiegelung an g, so gilt $\overline{{AB}}$ = $\overline{{S_g(A)S_g(B)}}$. Das heißt die Gegenstandsstrecke ist genau so lang wie die Bildstrecke.

Beweis:Nach Konstruktion ist $\overline{{AS}}$ = $\overline{{A'S}}$ und $\angle$AST = $\angle$A'ST = 90⁰. Also ist wegen (SWS) $\overline{{AT}}$ = $\overline{{A'T}}$: Daher ist $\varphi$ = $\varphi{^\prime}$. Außerdem ist nach Konstruktion $\overline{{BT}}$ = $\overline{{BT'}}$. Mit dem Satz (SWS) folgt, dass $\triangle$ATB $\cong$ $\triangle$A'TB' ist. Daher ist $\overline{{AB}}$ = $\overline{{A'B'}}$. $\Box$

Folgerung 4.1.2   Gegeben sei eine Achse g

1. Bei der Achsenspiegelung ist das Bild einer Strecke [AB] die Strecke

   [S_g(A)S_g(B)].

2. Das Bild einer Geraden h ist eine Gerade.
3. Gegenstands- und Bildwinkel sind gleich groß.

Beweis:Zu a: Liege C auf [AB]. Das heißt $\overline{{AC}}$ + $\overline{{CA}}$ = $\overline{{AB}}$. Wegen Satz 4.1.1 folgt: $\overline{{S_g(A)S_g(B)}}$ = $\overline{{AB}}$ = $\overline{{AC}}$ + $\overline{{CB}}$ = $\overline{{S_g(A)S_g(C)}}$ + $\overline{{S_g(C)S_g(B)}}$. Daher ist $\overline{{S_g()S_g(B)}}$ = $\overline{{S_g(A)S_g(C)}}$ + $\overline{{S_g(C)S_g(B)}}$. Daher ist S_g(C) $\in$ [S_g(A)S_g(B)]. Ist X ein Punkt von der Strecke [S_g(A)S_g(B)], so ist S_g(X) $\in$ [AB] und dher X = S_g(S_g(X)) $\in$ [S_g(A)S_g(B)]. Jeder Punkt der Strecke S_g(A)S_g(B)] kommt daher tatsächlich als Bildpunkt vor.

Zu b: Genauso.

Zu c: Überlege dies dir selbständig. $\Box$

Aufgaben:

1. Spiegle ein beliebiges Dreieck an einer Geraden g.
   1. g schneidet das Dreieck nicht.
   2. g ist eine Dreiecksseite.
   3. g schneidet das Dreieck.
2. Max schlägt folgende ,,Halbspiegelung`` vor. Gegeben ist die Gerade g. Jedem Punkt P der Ebene wird genau ein Bildpunkt der Ebene P' = S_g(P) zugeordnet. Liegt P auf g, so sei S_g(P) : = P. Liegt P nicht auf g, so fällt man das Lot von P auf die Gerade g. Es habe den Fußpunkt F. S_g(P) liegt auf der Seite von g, welche P nicht enthält, so dass [S_g(P)F] genauso lang ist wie [PF].
   1. Zeichne das Bild eines beliebigen Dreiecks bei dieser Halbspiegelung.
   2. Ist bei der Halbspiegelung die Bildstrecke genau so lang wie die Gegenstandsstrecke?
   3. Ist der Bildwinkel bei diese Halbspiegelung genausogroß wei der Gegenstandswinkel?
3. Konstruiere das Bild einer Gerade. Wieviel Bildpunkte muss man konstruieren? Begründung!
4. 1. Konstruiere das Bild eines Kreises bei verschiedener Lage der Achse zum Kreis.
   2. Zeige: Bei jeder Achsenspiegelung ist das Bild eines Kreise wieder ein Kreis.
5. Zeige:
   1. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch. Was ist die Symmetrieachse?
   2. Ein gleichseitiges DReieck hat drei Symmetrieachsen.
   3. Zwie sich schneidende Geraden bilden eine achsesymmetrische Figur. Was sind die Symmetrieachsen?
   4. Zwei parallele Geraden bilden eine achsensymmetrische Figur. Was sind die Symmetrieachsen?
   5. Konstruiere die Symmetriechsen zweier Geraden, deren Schnittpunkt nicht auf dem Zeichenblatt liegt.
6. Gegeben sind zwei symmetrische Punkte und ihre Achse.
   1. Konstruiere nur mit dem Lineal den Bildpunkt eines beliebigen Punktes Q.
   2. Konstruiere das Bild einer Geraden nur mit dem Lineal. Begründe deine Konstruktion.
7. Zeige: Sind in zwei rechtwinkligen Dreiecken die Hypothenusen und die Höhen gleich lang, so sind die Dreiecke kongruent.

Definition 4.1.1   Ist ein Viereck achsensymmetrisch an einer Diagonalen, so heißt das Viereck Drachenviereck oder Drache.

1. Konstruiere einen Drachen, von dem gegeben sind:
   1. [AB] ist 3cm, [BC] 4cm und [BD] ist 5cm lang.
   2. [AB] ist 3.5cm, [AC] 7cm und [BD] ist 5.6cm lang.
   3. [AC] ist 6.8cm BD 5.2cm und Winkel DAB = 100⁰.
   4. [AC] ist 8cm lang. Winkel DAB = 84⁰ und Winkel ABC = 110⁰.
2. Berechne die fehlenden Winkel eines Drachens ABCD, wenn gegeben sind:
   1. Winkel DAB = 86⁰.
   2. Winkel ABC = 110⁰.
   3. Winkel DAB = 98⁰.
   4. Winkel BCD = 64⁰.
3. Zeige: Ist ein Drache ein Prallelogramm so ist er schon eine Raute. Eine Raute ist ein Viereck in dem alle vier Seiten gleich lang sind.

4. Zeige: Hat ein Kreis um M mit einer Geraden g genau einen Schnittpunkt F, so steht MF senkrecht auf g. In diesem Fall heisst die Gerade g Tangente an den Kreis.
5. Gegeben ist ein Kreis um M mit Radius r. Konstruiere von einem Punkt außerhalb des Kreises Tangenten an den Kreis.
6. Max soll in der Skizze von A nach B laufen und unterwegs in einem Punkt C die Wand berühren. Konstruiere den Punkt der Wand, so dass der Weg von Max möglichst kurz ist.
   

7. Gegeben ist ein spitzer Winkel mit den Schenkeln g und h. Außerdem ist ein Punkt C im Winkelfeld gegeben. Konstruiere einen Punkt A auf g und einen Punkt B auf h, so dass das Dreieck ABC möglichst kleinen Umfang hat.
8. Im Innern eines Winkel $\angle$(g, h) sind zwei verschiedene Punkte. Konstruiere einen Punkt C auf D und einen Punkt Q auf h, so dass das Viereck ABCD minimalen Umfang hat. Wann existiert ein solches Viereck?
9. (schwer! Das Problem von Fagano:[QS86, Seite 21]). Einem spitzwinkligen DReieck soll ein Dreieck mit minimalem Umfang einbeschrieben werden. Zeige: Diese DReieck ist das Höhenfusspunktdreieck.
10. Das Rechteck ABCD stellt einen Billardtisch mit den Banden [AB], [BC], [CD] und [DA] dar. Die Punkte P und Q sind Billardkugeln. Die Kugel P soll so gestoßen werden, dass sie nach zweimaliger Reflexion an den Banden die Kugel Q trifft. Konstruiere die Bahn der Kugel.

    Abbildung 4.1: Billard