4.Grundaufgabe:

Konstruiere ein Dreieck aus zwei Seiten und einem anliegenden Winkel. Etwa aus a, b und $\beta$. Diesmal sind zwei Fälle zu unterscheiden.

1. Fall a > b : Der gegebene Winkel liegt der kleineren Seite gegenüber. Etwa a = 7.5 cm, b = 4.7 cm und $\beta$ = 34⁰. Führst du die Konstruktion durch, so siehst du, das es zwei Lösungen gibt.
2. Fall a < b : Der gegebene Winkel liegt der größeren Seit gegenüber. Beispiel: a = 5 cm, b = 8, 5 cm und $\beta$ = 80⁰. Führst du diesmal die Konstruktion durch, so siehst du, das es nur eine Lösung gibt.

Dies lässt den folgenden Satz vermuten:

Satz 3.2.4 (SsW)   Zwei Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen sind kongruent.

Abbildung 3.4: SsW

Beweis:Seien $\triangle$ABC und $\triangle$A'B'C' zwei DReiecke in denen die geforderten Stücke gleich sind. Von B' tragen wir auf der Halbgeraden A'B'] die Strecke c ab und erhalten einen Punkt P. Nach dem Satz SWS ist $\triangle$C'B'P $\sim$ $\triangle$CBA. Also ist $\overline{{C'P}}$ = $\overline{{CA}}$ = b. Wäre P echt zwischen A'B', so wäre nach der vorherigen Folgerung $\overline{{C'P}}$ < $\overline{{C'A'}}$ = b. Das ist nicht der Fall. Genausowenig ist A' zwischen P und B'. Daraus ergibt sich die Behauptung. $\Box$

1. Konstruiere ein Dreieck aus:
   1. a = 5, 3 cm, c = 3, 9 cm und $\alpha$ = 40⁰.
   2. a = 3, 8 cm, c = 4, 6 cm und $\gamma$ = 72⁰.
   3. b = 4, 7 cm c = 4, 2 cm und $\gamma$ = 40⁰.
   4. b = 6 cm, c = 4, 5 cm und $\beta$ = 120⁰.
   Wie groß ist in jedem Fall die Anzahl der Lösungen?
2. 1. Zeige: In jedem rechtwinkligen DReieck liegt der rechte Winkel stets der größten Seite gegenüber. Diese Seite heißt Hypotenuse.
   2. Der Punkt P liege nicht auf der Geraden g. Die kürzeste Verbindung von P zur Geraden ist das Lot auf die Gerade.
3. Gegeben ist ein DReieck $\triangle$ABC. Das Lot von C auf die gegenüberliegende Seite [AB] heißt Höhe h_c. Entsprechend erklärt man die anderen Höhen. Konstruiere in einem Dreieck eigener Wahl alle drei Höhen, was stellst du fest?
4. Konstruiere ein Dreieck aus:
   1. h_c = 5 cm, a = 5, 3 cm und c = 6, 6 cm.
   2. h_a = 6, 3 cm, b = 7cm und c = 6, 5 cm.
   3. h_c = 4, 8 cm, b = 6, 5 cm und $\beta$ = 70⁰.
   4. h_c = 5 cm, b = 5, 3 cm und $\gamma$ = 60⁰.
5. Gegeben ist ein Dreieck $\triangle$ABC. Zeige:
   1. Ist a = b, so ist h_a = h_b.
   2. Ist h_a = h_b, so ist a = b.
6. Konstruiere ein Dreieck aus:
   1. b = 4, 6 cm, h_c = 4 cm und s_b = 6 cm. s_b ist die Seitenhalbierende der Seite b.
   2. c = 6, 5 cm, s_c = 5, 2 cm und h_b = 4, 5 cm.
   3. h_c = 4 cm, s_c = 5, 2 cm und c = 6, 8 cm.
   4. c = 7 cm, s_b = 6, 6 cm und b = 4, 2 cm.
   5. c = 8, 8 cm, s_c = 2, 9 cm und $\alpha$ = 28⁰.
7. Zeige:
   1. Jeder Punkt der Winkelhalbierenden hat von beiden Schenkeln des Winkels gleichen Abstand.
   2. Hat ein Punkt P im Winkelfeld eines Winkels von beiden Schenkeln geichen Abstand, so liegt er auf der Winkelhalbierenden.
   3. In jedem Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises durch die drei Fußpunkte der Lote vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden auf die Seiten. Dieser Kreis heißt Inkreis des Dreiecks.