Winkel an Doppelkreuzungen

Zwei Geraden heißen parallel , wenn sie ein gemeinsames Lot haben. Es sei eine Doppelkreuzung gegeben (siehe Zeichnung). Die Winkel alpha und alpha' heißen Stufenwinkel. Die Winkel delta und alpha' heißen Nachbarwinkel. Die Winkel gamma und alpha' heißen Z- Winkel oder Wechselwinkel.

Abbildung 2.2: Doppelkreuzung

Satz 2.2.1   Die beiden Geraden g und h werden von einer dritten Geraden i geschnitten. Dann gilt:

1. Sind Z- Winkel gleich groß, so sind die Geraden parallel.
2. Sind Stufenwinkel gleich groß, so sind die Geraden parallel.
3. Ergänzen sich die Nachbarwinkel zu 180⁰, so sind die Geraden parallel.

Beweis:Sei M der Mittelpunkt von [A, B] und l das Lot von M auf g. Dann sind die Dreiecke $\triangle$ACM und $\triangle$BDM kongruent. Es ist $\angle$MBD = $\angle$MAC nach Voraussetzung. $\overline{{AM}}$ = $\overline{{MB}}$ nach Voraussetzung. $\angle$CMA = $\angle$BMD (Scheitelwinkel). Wegen dem Satz WSW sind also die Dreiecke $\triangle$ACM und $\triangle$BDM kongruent. Das ergibt $\angle$BDM = 90⁰ und nach Definition sind die Geraden g und h parallel.

Zu 2. Seien in der Zeichnung die Stufenwinkel $\alpha$ = $\alpha{^\prime}$. Es ist $\alpha{^\prime}$ = $\alpha{^\prime}{^\prime}$, weil dies Scheitelwinkel sind. Daher ist $\alpha$ = $\alpha{^\prime}{^\prime}$. Wegen dem bewiesenen Teil 1. des Satzes können wir schließen, dass g und h parallel sind. $\Box$

Beweise die Behauptung 3. selbstständig als Übung.

Ist eine Gerade g gegeben und ein Punkt P außerhalb dieser Geraden, so ist es leicht eine Parallele zu dieser Geraden durch den Punkt P zu zeichnen. Wir fällen das Lot von P auf g und errichten in P die Senkrechte auf dem Lot. Dies ist die gesuchte Parallele. Max schlägt eine andere Konstruktion vor.

• Wähle irgend einen Punkt Q $\neq$ P, welcher nicht auf g liegt.
• Fälle von Q aus das Lot l auf g.
• Von P aus fälle das Lot h auf l.

Die Gerade h ist eine Parallele durch P zu g. Denn l ist ein gemeinsames Lot. Es gibt keinen vernünftigen Grund Max zu widersprechen. Er hat tatsächlich recht. Führen wir die Konstruktion durch, so sehen wir: Maxens Parallele und unsere liegen aufeinander. Sind sie gleich oder liegt es an unserer mangelnden Zeichengenauigkeit? Euklid und mit ihm die meisten Mathematiker meinten: Sie sind gleich. Über 2000 Jahre lang hat man versucht, dies zu beweisen. Schon Euklid hat vergeblich versucht dies auf die anderen Grundlagen der Geometrie zurückzuführen. Da es ihm nicht gelang nahm er diese einleuchtende, so selbstverständliche Tatsache als weiteren Grundsatz, Fundamentstein zu seinem Lehrgebäude hinzu. Er formulierte als Axiom:

Axiom 2..1 (Parallelenaxiom von Euklid)   Ist P ein Punkt, der nicht auf der Geraden g liegt, so gibt es genau eine Parallele durch P zu g.

Mit diesem Axiom können wir die umgekehrte Frage beantworten: Sind an parallelen Geraden Wechselwinkel und Stufenwinkel gleich groß?

Satz 2.2.2   Sei g parallel zu h und i schneide g und h. Dann gilt:

1. Z- Winkel sind gleich groß.
2. Stufenwinkel sind gleich groß.
3. Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180⁰.

Beweis:

Trage in B an i den Winkel $\alpha$ an. Nenne diese Gerade h'. h' ist parallel zu g nach dem Satz vorher. Da es nur eine Parallele zu g durch B gibt ist h' = h. Beweise den Rest selbstständig. $\Box$

Folgerung 2.2.3  

1. Sind g und h parallel und ist i eine Senkrechte zu g, dann ist i auch senkrecht auf h.
2. Seien g und h parallel. Weiter seien A, B Punkte auf g. Die Lote von A auf h und B auf h sind gleichlang.
3. g und h seien zwei Geraden. Gibt es Punkte A und B auf g derart, dass die Lote von A und B auf h gleichlang sind, so ist g parallel zu h.

Beweis:

Es ist $\alpha$ ein Z- Winkel zu $\beta$ und da $\alpha$ = 90⁰ ist, gilt dasselbe für $\beta$.

Zu 2.

D und C sind die Fußpunkte der Lote von A beziehungsweise B auf h. Da h eine gemeinsame Senkrechte von AD und BC ist, sind AD und BC parallel. Also gilt: $\angle$BAC = $\angle$DCA (Z- Winkel). $\angle$DAC = $\angle$BCA (Z- Winkel, da AD parallel zu BC).

Die Strecke [AC] haben die Dreiecke $\triangle$ADC und $\triangle$CBA gemeinsam. Also ist nach dem Satz (WSW) $\triangle$ADC $\cong$ $\triangle$CBA. Daher ist $\overline{{AD}}$ = $\overline{{BC}}$.

Zu 3.

Wieder ist AD parallel zu BC wegen der gemeinsamen Senkrechten h. Also gilt: $\overline{{AD}}$ = $\overline{{BC}}$ wegen der Voraussetzung. $\angle$DAC = $\angle$BCA (Z- Winkel). Die Strecke [AC] ist den Dreiecken $\triangle$ADC und $\triangle$CBA gemeinsam. Wegen dem Satz (SWS) ist damit das Dreieck $\triangle$CBA kongruent zum Dreieck $\triangle$ADC.

Also ist $\angle$ACD = $\angle$CAB und damit sind g und h parallel. $\Box$