3. Grundkonstruktion:

Gegeben ist ein Punkt P auf der Geraden g. Konstruiere eine Gerade durch P, die senkrecht auf g steht. Man sagt: Errichte auf g in P die Senkrechte.

Lösung:

1. Zeichne k(P, r) mit beliebigem r. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden seien A, B.
2. Errichte auf [AB] die Mittelsenkrechte m_[AB].

Denken wir noch einmal über die Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] nach. Entscheidend waren doch zwei Punkte C und D, die jeweils von A und B gleichweit entfernt sind. Die Verbindungsstrecke [CD] ist dann die gesuchte Mittelsenkrechte. Dabei waren D und C völlig beliebig. Das heißt doch: Jeder Punkt, welcher von A und B gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten. Die Mittelsenkrechte m einer Strecke [AB] teilt die Ebene in zwei Hälften. Eine Hälfte, in der A liegt und eine Hälfte, in der B liegt. Verbindet man einen Punkt aus der Hälfte von B mit A so schneidet diese Vrebindungsstrecke die Mittelsenkrechte.

Satz 1.3.1   Sei m die Mittelsenkrechte von [AB]. Dann gilt:

1. Liegt C auf m, so ist C von A und B gleichweit entfernt.
2. Liegt C nicht auf m, so ist C näher an dem Punkt, auf dessen Seite C liegt.
3. Ist $\overline{{AC}}$ = $\overline{{BC}}$, so liegt C auf m.

Beweis:Zu 1. Führe den Beweis selbstständig durch

Zu 2. Es ist nach der Zeichnung $\overline{{CA}}$ = $\overline{{CS}}$ + $\overline{{SA}}$ + $\overline{{SB}}$ (nach Teil 1.) > $\overline{{CB}}$. Dies gilt, da die Gerade die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist. Genauso ist der Beweis zu führen, wenn C auf der Seite von A liegt.

Zu 3. Läge C nicht auf m, so läge C auf der Seite von A oder auf der Seite von B. Dann wäre entweder $\overline{{AC}}$ < $\overline{{BC}}$ oder $\overline{{AC}}$ > $\overline{{BC}}$. Beides kann nach Voraussetzung nicht sein. $\Box$

Satz 1.3.2   Die Mittelsenkrechten der drei Seiten eines jeden Dreiecks $\triangle$ABC schneiden sich in einem Punkt.

Beweis:Sei M der Schnittpunkt von m_c und m_a. Dann ist $\overline{{MA}}$ = $\overline{{MB}}$ und $\overline{{MB}}$ = $\overline{{MC}}$. Also ist $\overline{{MA}}$ = $\overline{{MC}}$. Damit liegt M auch auf der Mittelsenkrechten m_b. $\Box$

Abbildung 1.1: Umkreis

Folgerung 1.3.3   Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt eines Kreises, auf dem die drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks.