Kettenbrüche

Wir betrachten noch einmal die Divisionsgleichung zu einem gegebenem Zahlenpaar $\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right)$. Wegen Satz 3.1 gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q₀ $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ und a₂ $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$⁺ mit

Es ist q₀ = [${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$]. Zu jedem Paar $\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right)$ gehört also eine Quotientenfolge eine Folge (q_n| n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$) mit q_i > 0, die durch das euklidische Verfahren definiert ist. So ist

$$\fbox{4}\cdot 27+ 8 {\frac{{116}}{{27}}} \fbox{4}+ \frac{8}{27}$$ oder

$$\fbox{3}\cdot 8 + 3 {\frac{{\phantom{0}27}}{{8}}} \fbox{3}+\frac{3}{8}$$ oder

$$\fbox{2}\cdot 3 +2 {\frac{{\phantom{00}8}}{{3}}} \fbox{2}+\frac{3}{2}$$ oder

$$\fbox{1}\cdot 2 + 1 {\frac{{\phantom{00}3}}{{2}}} \fbox{1}+\frac{1}{2}$$ oder

$$\fbox{2}\cdot 1 + 0 {\frac{{\phantom{00}2}}{{1}}} \fbox{2}+0$$ oder

In diesem Beispiel ist die entstehende Zahlenfolge endlich. Setzt man ein so erhält man:

$${\frac{{116}}{{27}}} {\frac{{1}}{{3+\displaystyle\frac{3}{8}}}} {\frac{{1}}{{3+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{2}{3}}}}} {\frac{{1}}{{3+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{1}{1+\frac{1}{2}}} }}}$$

Es entsteht in unserm Beispiel ein endlicher Kettenbruch. Die Schreibweise ist sehr unbequem. Da es nur auf die Quotienten ankommt schreibt man in unserm Beispiel: [4, 3, 2, 1, 2]. Man kann nun endliche Kettenbrüche rekursiv definieren:

1. Für jede natürliche Zahl q₀ ist [q₀] : = q₀.
2. Es ist [q₀, q₁,..., q_n+1] : = q₀ + $${\frac{{1}}{{[q_{1},\dots,q_{n+1}]}}}$$

Das heißt es ist [1, 2, 3] = 1 + $${\frac{{1}}{{[2,3]}}}$$ = 1 + $${\frac{{1}}{{\displaystyle 2+\frac{1}{3}}}}$$. Startet man den euklidischen Algorithmus mit zwei inkommensurablen Zahlen, so bricht er nicht ab, wie wir wissen. Wir wollen beispielsweise die Quotientenfolge für das Zahlenpaar $\left(\vphantom{\begin{array}{c} \sqrt{3}\\ 1\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} \sqrt{3}\\ 1\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} \sqrt{3}\\ 1\\ \end{array}}\right)$ berechnen. Es muss sich auf jeden Fall eine unendliche Folge ergeben. Es entsteht im euklidischen Algorithmus eine Zahlenfolge

a_n = q_n ^. a_n+1 + a_n+2

$${\frac{{a_n}}{{a_{n+1}}}} {\frac{{a_{n+2}}}{{a_{n+1}}}} \in \mbox{$\mathbb{N}$}$$ =

Definiert man b_n : = ${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$, so gilt: b_n = q_n + ${\frac{{1}}{{b_{n+1}}}}$. oder:

$${\frac{{1}}{{b_{n}-[b_{n}]}}}$$

Diese leichte Umformung erleichtert das Berechnen der Quotientenfolge

Beispiele:

1. Es soll die Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{3}}$ bestimmt werden. Zur Abkürzung sei w = $\sqrt{{3}}$.
   

   b₀ = w,[b₀] = q₀ = 1

   $${\frac{{1}}{{w-1}}} {\frac{{w+1}}{{2}}}$$ = 1

   $${\frac{{2}}{{w-1}}}$$ = 2

   $${\frac{{1}}{{w-1}}}$$ = b₁

   
   Wie wir sehen wiederholen sich ab jetzt dieselbe b_i. Die Quotientenfolge wird daher periodisch. Wir kürzen das folgendermaßen ab: [1,$\overline{{1,2}}$].
2. Es soll dei Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{13}}$ berechnet werden. w = $\sqrt{{13}}$

   n	bn = $${\frac{{1}}{{b_{n-1}}}}$$ - [bn]	qn = [bn]
   0	w = $\sqrt{{13}}$	3
   1	$${\frac{{1}}{{w-3}}}$$ = $${\frac{{w+3}}{{4}}}$$	$\left[\vphantom{\displaystyle\frac{[w]+3}{4}}\right.$$${\frac{{[w]+3}}{{4}}}$$$\left.\vphantom{\displaystyle\frac{[w]+3}{4}}\right]$ = 1
   2	$${\frac{{4}}{{w+3-4}}}$$ = $${\frac{{w+1}}{{3}}}$$	1
   3	$${\frac{{w+2}}{{3}}}$$	1
   4	$${\frac{{w+1}}{{4}}}$$	1
   5	w + 3	6
   6	$${\frac{{w+3}}{{4}}}$$	1

   Wir haben daher $\sqrt{{13}}$ = [3,$\overline{{1,1,1,6}}$].

Schreibt man diese Gleichung wieder mit dem tollen Hilfsmittel der Matrizen, so erhält man:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right) \begin{pmatrix}q_{0}&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} q_{0}a_{1}+a_{2}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} q_{0}a_{1}+a_{2}\\ a_{1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} q_{0}a_{1}+a_{2}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right)$$

Auf $\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{1}\\ a_{2}\\ \end{array}}\right)$ wenden wir das gleiche Verfahren an: Es ist

$$\left[\vphantom{\frac{a_{1}}{a_{2}}}\right. {\frac{{a_{1}}}{{a_{2}}}} \left.\vphantom{\frac{a_{1}}{a_{2}}}\right]$$ a₁ =

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{2}\\ a_{3}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{2}\\ a_{3}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{2}\\ a_{3}\\ \end{array}}\right)$$ =

$$\vdots \vdots$$ =

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ \end{array}}\right) \underbrace{{A_{0}\cdot A_{1}\dots A_{n}}}_{{\mathbf{P_{n}}}}^{}\, \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right)$$ = (13)

Hinweise:

1. Zu jedem Zahlenpaar $\neq$ $\left(\vphantom{\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array}}\right)$ gehört eigenlich eine Gerade durch den Ursprung, so dass unsere Matrizen Abbildungen zwischen solchen Geraden induzieren.
2. Brüche sind nichts anderes als Zahlenpaare. So konstruiert man auch Brüche. Von daher liegt es nahe sein Augenmerk auf Zahlenpaare zu lenken.

Aufgaben:

1. Gegeben die endliche Quotientenfolge [5, 4, 3, 2, 2]. Welche Zahlenpaare gehören zu dieser Quotientenfolge?

2. Zeige: Die Quotientenfolge die zu (a, b) gehört ist genau dann endlich, wenn a und b kommensurabel sind. Dies wusste schon Euklid.
3. Bei der Berechnung der Kettenbruchentwicklung einer Quadratwurzel ist folgende Bemerkung wichtig:

   $${\frac{{\sqrt{d}+a}}{{c}}} {\frac{{[\sqrt{d}]+b}}{{c}}}$$ (14)

   
   
   Falls a, b, c, d $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ und d keine Quadratzahl ist. Um [$\sqrt{{d}}$] zu berechnen gibt es ein schnelles Verfahren, welches nur mit natürlichen Zahlen rechnet. Es ist eine Abwandlung des Newton Verfahrens [Lün87, Seite 30]
4. Berechne die Kettenbruchentwicklung von
   1. $\sqrt{{3}}$.
   2. $\sqrt{{6}}$, $\sqrt{7}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt{{21}}$

5. Finde ein Zahlenpaar zu dem die unendliche Quotientenfolge [$\overline{{1,1,1,}}$] gehört.
6. Finde ein Zahlenpaar das zu der Quotientenfolge [2, 2, 2, 2, 2, 2,...] gehört.
7. 1. Berechne die Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{2}}$ + 1.
   2. Berechne die Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{5}}$ + 2
   3. Berechne allgemein die Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a falls a² + 1 keine Quadratzahl ist.

Bemerkung 4.1   Für P_n = $\begin{pmatrix} u_{n}& u_{n-1}\\ v_{n}& v_{n-1} \end{pmatrix}$ gelten die Rekursionsformeln:

u_n+1 = q_n+1 ^. u_n + u_n-1

v_n+1 = q_n+1 ^. v_n + v_n-1 (15)

Die Determinante det(P_n) = (- 1)ⁿ. v_n, u_n sind streng monoton wachsende Folgen. (Dies ist genau wie im Satz 2.2)

Satz 4.2   Für irrationale ${\frac{{a}}{{b}}}$ ist: $$\left\vert\vphantom{\frac{a}{b}-\frac{u_{n}}{v_{n}}}\right.$$$${\frac{{a}}{{b}}}$$ - $${\frac{{u_{n}}}{{v_{n}}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{a}{b}-\frac{u_{n}}{v_{n}}}\right\vert$$ < $${\frac{{1}}{{v_{n}^{2}}}}$$.

Beweis:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{n+1}\\ a_{n+2}\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} u_{n}\cdot a_{n+1}+u_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ v_{n}\cdot a_{n+1}+v_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} u_{n}\cdot a_{n+1}+u_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ v_{n}\cdot a_{n+1}+v_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} u_{n}\cdot a_{n+1}+u_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ v_{n}\cdot a_{n+1}+v_{n-1}\cdot a_{n+2}\\ \end{array}}\right)$$ =

$${\frac{{a}}{{b}}} {\frac{{u_{n}\cdot a_{n+1}+u_{n-1}\cdot a_{n+2}}}{{v_{n}\cdot a_{n+1}+v_{n-1}\cdot a_{n+2}}}}$$ =

$${\frac{{u_{n}\cdot a_{n+1}/a_{n+2}+u_{n-1}}}{{v_{n}\cdot a_{n+1}/a_{n+2}+v_{n-1}}}}$$ =

$${\frac{{u_{n}\beta+u_{n-1}}}{{v_{n}\cdot \beta+v_{n-1}}}} \beta$$ =

$$\left\vert\vphantom{\frac{a}{b}-\frac{u_{n}}{v_{n}}}\right. {\frac{{a}}{{b}}} {\frac{{u_{n}}}{{v_{n}}}} \left.\vphantom{\frac{a}{b}-\frac{u_{n}}{v_{n}}}\right\vert \left\vert\vphantom{\frac{(-1)^{n})}{v_{n}(v_{n}\beta)+v_{n-1}}}\right. {\frac{{(-1)^{n})}}{{v_{n}(v_{n}\beta)+v_{n-1}}}} \left.\vphantom{\frac{(-1)^{n})}{v_{n}(v_{n}\beta)+v_{n-1}}}\right\vert \le {\frac{{1}}{{v_{n}^{2}}}}$$ =

$\Box$

Folgerung 4.3  

1. Ist ${\frac{{a}}{{b}}}$ eine irrationale Zahl, so ist $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$${\frac{{u_{n}}}{{v_{n}}}}$ = ${\frac{{a}}{{b}}}$
2. Zwei Zahlenpaare (a, b) und (c, d ) haben dieselbe Quotientenfolge, wenn sie auf der gleichen Geraden durch den Nullpunkt liegen.

Beweis:1. ist klar

Zu 2. Liegen die beiden Zahlenpaare (a, b) und (c, d ) auf der gleichen Geraden durch den Nullpunkt, so sind ihre Quotienten gleich. Sie erzeugen also die gleiche Quotientenfolge.

Seien umgekehrt die Quotientenfolgen gleich. Man hat für alle natürlichen Zahlen:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right)$$ =

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} c_{n}\\ c_{n+1}\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} c_{n}\\ c_{n+1}\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} c_{n}\\ c_{n+1}\\ \end{array}}\right)$$ =

Dabei ist P_n = $\begin{pmatrix} u_{n}& u_{n+1}\\ v_{n} &v_{n+1} \end{pmatrix}$ Es folgt $${\frac{{c}}{{d}}}$$ = $$\lim\limits_{{n\to\infty}}^{}$$$${\frac{{u_{n}}}{{v_{n}}}}$$ = $${\frac{{a}}{{b}}}$$. Das war behauptet. $\Box$

Satz 4.4 (Euler)   Ist die Quotientenfolge periodisch, so ist $\alpha$ = ${\frac{{a}}{{b}}}$ Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. $\alpha$ ist eine quadratische Irrationalität.

Beweis:Zunächst nur für den Fall, dass die Quotientenfolge [$\underbrace{{q_{0},\dots,q_{k}}}\,$, q₀,..., q_k...] rein periodisch ist. Wir haben dann:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right)$$ =

Wobei $\left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right)$ dieselbe Quotientenfolge hat. Es folgt dann:

$${\frac{{a}}{{b}}} {\frac{{u_{k}\cdot c+u_{k-1}\cdot d}}{{v_{k}\cdot c+v_{k-1}\cdot d}}}$$ =

$${\frac{{a}}{{b}}} {\frac{{u_{k}\cdot c/d+u_{k-1}}}{{v_{k}\cdot c/d+v_{k-1}}}}$$ =

$${\frac{{a}}{{b}}} {\frac{{c}}{{d}}}$$ mit x =

$${\frac{{u_{k}x+u_{k-1}}}{{v_{k}x+vk-1}}}$$ x =

Daher ist x Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzahligen Koeffizienten. Es bleibt nur noch der Fall zu überlegen, dass die Quotientenfolge nicht rein periodisch ist. Dann gilt:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right) \left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right)$$

Dabei erzeugt $\left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right)$ eine rein periodische Kettenbruchentwicklung. Mit dem folgenden Hilfssatz ergibt sich die Behauptung.

Hilfssatz 4.5   Sei y eine quadratische Irrationalität. Dann ist

$${\frac{{a\cdot y+b}}{{c\cdot y+d}}}$$ (16)

mit a, b, c, d $\in$ $\mbox{$\mathbb Z$}$ eine quadratische Irrationalität.

Beweis:y erfülle die Gleichung A ^. y² + B ^. y + C = 0. Wir lösen die Gleichung 16 nach y auf. Das ergibt: y = $${\frac{{dx-b}}{{a-cx}}}$$. Setzt man dies in die quadratische Gleichung ein, die y erfüllt und multipliziert mit dem Hauptnenner, so sieht man, dass x eine quadrtische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllt.

$\Box$
$\Box$
Hinweise:

1. Ich habe aus dem Buch von Koch [Koc97, Seite 272] übernommen, dass der Satz von Euler stammt. Ich weiss aber nicht wo es bei Euler steht.

Satz 4.6   Sei $\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right)$ = P_n ^. $\left(\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} a_{n}\\ a_{n+1}\\ \end{array}}\right)$ mit Matrizen der Form P_n = $\begin{pmatrix} u_{n}& u_{n-1}\\ v_{n}& v_{n-1} \end{pmatrix}$. Ist $\alpha$ = ${\frac{{a}}{{b}}}$ Lösung einer Gleichung Ax² + Bx + C = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, so ist $\beta$ = ${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$ auch Lösung einer Gleichung A_nx² + B_nx + C_n = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten und gleicher Determinante.

Beweis:Es genügt die Beziehung zu zeigen für eine Beziehung der Form:

$$\left(\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array}}\right) \begin{pmatrix}q &1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \left(\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right. \begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array} \left.\vphantom{\begin{array}{c} c\\ d\\ \end{array}}\right)$$

$$\alpha$$ = $${\frac{{a}}{{b}}}$$ = $${\frac{{qc+d}}{{c}}}$$ = $${\frac{{q\frac{c}{d}+1}}{{\frac{c}{d}}}}$$ = $${\frac{{q\beta+1}}{{\beta}}}$$

Ist A$\alpha^{{2}}_{}$ + B$\alpha$ + C = 0, so ist A$\left(\vphantom{\displaystyle\frac{q\beta+1}{\beta}}\right.$$${\frac{{q\beta+1}}{{\beta}}}$$$\left.\vphantom{\displaystyle\frac{q\beta+1}{\beta}}\right)^{{2}}_{}$ + B$\left(\vphantom{\displaystyle\frac{q\beta+1}{\beta}}\right.$$${\frac{{q\beta+1}}{{\beta}}}$$$\left.\vphantom{\displaystyle\frac{q\beta+1}{\beta}}\right)$ + C = 0 Dies ergibt

(Aq² + Bq + C)$$\beta^{{2}}_{}$$ + (A2q + B)$$\beta$$ + A = 0.

Man rechnet nach, dass diese Gleichung dieselbe Determinante hat wie die Gleichung für $\alpha$. $\Box$

Satz 4.7 (Lagrange)   ist a eine quadratische Irrationalität, so defieniert das Zahlenpaar (a, 1) eine periodische Quotientenfolge. Der Kettenruch ist periodisch.

Hinweise:

1. Der Zusammenhang mit den gebrochen rationalen Funktionen fehlt. Eindimensionaler projektiver Raum.
2. Wir sollten die Originalschrift von Luca Pcioli finden.
3. Auch das Liber abaci von Leonardo von Pisa.
4. Außerdem die Schrift von Lagrange.
5. In der Musik spielt der goldene Schnitt und die Fibonacci Zahlen auch eine große Rolle. Besonders bei Bela Bartok siehe das Buch [Sza72, Seite 105 ff]