Fibonacci Zahlen
,,Die Konstruktion beider Körper (Dodekaeder Und Ikosaeder), vor allem aber
die des Fünfecks selbst, ist nicht durchführbar ohne jene Proportion, die
die heutigen Mathematiker die göttliche nennen. Diese ist aber so
beschaffen, daß die beiden kleineren Glieder einer stetigen Proportion
zusammen das dritte ergeben, und in dieser Weise bildet immer die Summe
zweier benachbarter Glieder das unmittelbar folgende, wobei die gleiche
Proportion bis ins Unbegrenzte fortgeht. In Zahlen das Ergebnis vollkommen
auszudrücken ist unmöglich. Je weiter wir uns jedoch von der Einheit
entfernen, desto besser wird die Annäherung. Es seien die beiden kleinsten
Zahlen 1, und 1 , die Du Dir als ungleichwertig vorstellen musst. Addiert
ergeben sie 2. Die größere hinzu addiert ergibt 3 ...
Nach Analogie dieser sich fortsetzenden Proportion ist, wie ich glaube, das
Zeugungsvermögen versinnbildlicht, und so wird in der Blüte dem
Zeugungsvermögen ein unverfälschtes fünfzackiges Fähnlein vorangetragen.``
[KepII, Seite 18]
Betrachten wir aufs Neue die am Fünfeck rekursiv (oder besser fortgreifend
je nach dem wie man es anschaut)
definierte Folge.
Es entsteht eine Folge von Zahlen, die ins unendlich kleine fortfährt. Man
kann sich vorstellen, sie kommt aus dem unendlich Großen. Ein Fünfeck,
welches sich zusammenzieht kollabiert. Oder wir fassen es als ein Fünfeck auf
welches explodiert aus dem Urknall entsteht. In jedem Fall sucht man nach
Anfang und Ende und findet nichts.
Es ist ein schönes Beispiel für die These eines Kollegen von mir Herrn Agerer.
Er ist Hobbyastronom. Vielleicht schauen wir, wenn wir
ins Universum blicken in den Mikrokosmos und umgekehrt. Möglicherweise
schließt die Unendlichkeit das Gigantische mit dem winzigen in einem Kreis
zusammen.
Eine Vorstellung, die nur auf den ersten Blick hin absurd
ist. Auf jeden Fall ist es auch in unserm Fall künstlich der Folge einen
Anfang oder ein Ende zu geben.
Definition 2.1
Ist
f : V eine Funktion, wobei V ein Vektorraum ist, so
heißt f eine
Folge.
Die Folge heißt golden, wenn für alle
z gilt:
f (z) = f (z + 1) + f (z + 2).
Sie heißt Fibonacci Folge, wenn
f (z + 2) = f (z + 1) + f (z) für alle
z
gilt.
Ist f (0) = 0 und f (1) = 1 und
f (z + 2) = f (z + 1) + f (z) so spricht man von der
Fibonacci Folge schlechthin
Satz 2.1
Die Menge der Fibonacci Folgen bilden einen zweidimensionalen Unterraum der Folgen.
Beweis:Sind
f, g Fib, so gilt
(f + g)(z + 2) = f (z + 2) + g(z + 2) = (f + g)(z + 1) + (f + g)(z). Die Fibonaccifolge selber
ist in Fib. Außerdem ist
g(z) : = f (z + 1) sicher eine Fibonacci Folge.
Behauptung:
Ist h eine Folge in Fib, so gibt es
, mit
h = f + g
Wir wählen
= h(0) und
= h(1) - h(0) und behaupten
h(z) = f (z) . + g(z) . für alle
z . Für z = 0, z = 1
ist dies sicher richtig. Gelte die Behauptung für z. Dann folgt
h(z + 1) = h(z) + h(z - 1) = f (z) . + f (z - 1) . + (g(z) + g(z - 1)) . = f (z + 1) . + g(z + 1) . . Damit folgt die Behauptung für
alle positiven
z . Für die negativen z ist die Behauptung genauso einfach.
Betrachten wir auf neue die goldene Folge
(az| z ). Schreibt man
sie als Zuordnung zwischen Zahlenpaaren, so sieht das folgendermaßen aus:
Hinweise:
- Die Gleichung 6 ist ein Spezialfall einer so genannten
linearen Rekursionsgleichung:
Xn+2 : = a . xn+1 + b . xn mit
a, b . Die Lösungen
solcher Rekursionsgleichungen bilden stets einen zweidimensionalen
Vektorraum. Der Beweis überträgt sich unschwer auf die allgemeine Situation.
Die Gleichung 6 definiert einen Homomorphismus
f : 2 2. Die zugehörige Matrix ist
F = |
(7) |
Satz 2.2
Sei
F =
, so ist:
-
Fn = und
(f (n)| n ) ist die Fibonaccifolge f0 = 0 und f1 = 1.
-
det(Fn) = (- 1)n. Das heißt
fn+1 . fn-1 - fn2 = (- 1)n
-
F-n = (- 1)n
Beweis:Zu 1. Es ist
F = nach Definition. Erklärt man noch f-1 = 1, so ist die Behauptung auch für
F0 erfüllt.
Gelte die Behauptung für Fn. Dann ist
Zu 2.
det(Fn) = (- 1)n = fn+1 . fn-1 - fn2.
Zu 3.
Folgerung 2.3
Für
k gilt:
-
>
-
<
-
<
Beweis:Zu 1.
- = = > 0.
Genauso rechnet man 2. und 3. nach.
Wir haben daher die folgende Situation:
Links klettert man hoch rechts runter. Dazwischen wohnt eine
besondere Zahl.
Beide Folgen sind in die entsprechende Richtung beschränkt. Wegen der
Vollständigkeit von
konvergieren beide.
Zu zeigen bleibt: Sie haben den gleichen Grenzwert:
Satz 2.4
Die Folge
(an) =
konvergiert. Ihren Grenzwert ist die größere Lösung der Gleichung
x2 - x - 1 = 0. Also der Grenzwert ist
Beweis:Wir wissen schon
Beachtet man noch, dass
fnn ist, so folgt, dass die Differenz eine
Nullfolge ist. Sei
=
Es ist
Schreibt man den Limes davor so erhält man:
= 1 + . Daher ist
= .
Folgerung 2.5
Ist
= Fn mit beliebigem
a, b > 0 ,
so konvergiert die Folge
gegen .
Beweis:Es ist
Schreibt man lim davor, so erhält man:
= = = .
Eine Frage ist: Für welche Startwert lässt sich die goldene Folge beliebig
anständig fortsetzen? Das heißt: Wann sind die weiteren Folgenglieder stets
positiv?
Satz 2.6
Eine goldene Folge
az = az+1 + az+2 enthält genau dann nur positive
Glieder, wenn a0 > 0 und
= ist.
Beweis:Wir haben
= F... = Fn.
Also ist
Beide Komponenten
sind > 0.
F-n = (- 1)n |
|
Für alle geraden n folgt
fn-1 . a0 - fn . a1 |
= |
an > 0 |
|
|
> |
|
|
- fn . a0 + fn+1 . a1 |
= |
an+1 > 0 |
|
|
< |
|
|
Dies gilt für alle geraden n. Der Grenzwert beider Seiten ist . Also
ist
= .
Der Homomorphismus F operiert transitiv auf der Geraden
= U. Der Unterraum U ist abgeschlossen gegenüber F und
F-1 und damit abgeschlossen gegenüber jedem Homomorphismus der Form
Id + F mit
, .
Aufgaben:
-
fn für alle
n .
-
fn+m = fmfn+1 + fm-1fn
-
fn . k ist Vielfaches von fk
-
ggT(fm, fn) = fggT(m, n). Dabei ist
ggT(a, b) der größte
gemeinsame Teiler von a und b.
- Es sei
= die größere Lösung der Gleichung
x2 - x - 1 = 0. Und
die kleinere Lösung dieser Gleichung:
Man zeige:
-
K = [] ist ein Körper und
: K a + b a + b K ist der einzige Automorphismus Id, der
festlässt.
-
fn = .
- Die Folge
an =
ist eine Folge natürlicher Zahlen, mit der Fibonaccieigenschaft. Sie heißt
zugehörige Lucas Folge.
- Sei
f : 0 x . Man definiert rekursiv eine Folge a0 = 1 und
an+1 : = f (an). Konvergiert die Folge? Wenn ja spielt der Startwert eine
Rolle? Wie sieht es bei negativen Startwerten aus?
- Eine Fülle weiterer Aufgaben findet man in [Knu73, Seite 78 ff]
Andreas Bartholome
2004-10-27