1. bedeutet, dass der Körper archimedisch angeordnet ist.
1. 2. Eine Zahl k 0 beschränkt nicht nach oben. Daher gibt es eine kleinste Zahl n mit k < n + 1. Also ist nk < n + 1 und daher 0k - n < 1. Ist k < 0 so ist - k > 0. Es gibt eine kleinste Zahl n mit (n - 1) < - k < n. Also - nk < - n + 1. Mit z = - n folgt 0 < k - z = r + n < 1. Das heißt zu jedem k K gibt es ein solches z. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen.
Aus 0k - z1 < 1 und 0k - z2 < 1 folgt | z1 - z2| < 1. Und daher ist z1 = z2.
2. 3. Es ist 0 - . Mit b > 0, q = und r = - . b folgt die Gleichung 8.
3.
1.: Sei a K und a > 0. Zu b = 1 gibt es ein
q mit
a = q . b + r und r < 1. Daher ist a < q + 1. Das heißt K ist archimedisch
angeordnet.
Der Satz hat eine ganz anschaulische Bedeutung. Beginnt ein Rad mit dem Umfang b auf der Zahlengeraden bei 0 zu rollen, so erreicht es schließlich jede noch so große Zahl a. Es gibt eine Zahl q von Umdrehungen derart, dass das Rad gerade noch vor a sich befindet. Der Rest der vom Rad noch abrollt ist kleiner als der Umfang b. |
Dieser Satz 3.1 ermöglicht es von zwei Zahlen ein gemeinsames Maß zu finden falls es existiert. Wie das funktioniert lehrte schon Euklid [Euk73, Seite 143].
Wegen der Gleichung ist das größte gemeinsame Maß von a und b auch größtes gemeinsames Maß von b und r. Also es gilt ggM(a,b)=ggM(b,r). Führt dieser rekursive Algorithmus zum ersten Mal auf ein Zahlenpaar (d, 0) so ist d das größte gemeinsame Maß der beiden Zahlen. Dieser Algorithmus heißt euklidischer Algorithmus.
Es kann aber sein, dass der Algorithmus unendlich lange läuft also nicht abbricht. Dann entsteht eine unendliche Folge (an) mit der Eigenschaft: an = qn+1 . an+1 + an+2, wobei qn natürliche Zahlen 1, und alle an 0 sind. Zum bequemeren Sprechen will ich solche Folgen euklidische Folgen nennen.
a2n | = | q2n+1 . a2n+1 + a2n+2 | |
a2n+1 | = | q2n+2 . a2n+2 + a2n+3 | |
a2n+2 | = | . (a2n - q2n+1 . a2n+3) | |
a2n+2 | < | . a2n < . a0 |
Bricht die Folge nicht ab, so entsteht mit a0 = a und a1 = b eine
euklidische Folge. Man argumentiert nun genauso wie im Falle des Fünfecks,
dass es kein gemeinsames Maß geben kann.
Betrachtet man aufs neue die durch zwei Zahlen a, b erzeugte euklidische
Folge, so sieht man durch Induktion, dass jedes Element der Folge in dem
-Modul
a + b ist.
Hinweise:
2. 3. Sei M = a b. Dies ist eine abelsche Gruppe. Sei m = inf M 0+. Angenommen m > 0. Dann gibt es x M mit mx < m + 1/2m. Es ist x m. Denn wäre m = x, so hat man x = az1 + bz2 M. Es lässt sich schreiben: a = q . x + r mit q und 0r < x. Also ist r M. Dies widerspricht der Minimaleigenschaft von m. Also ist m < x < m + m. Da m = inf(M 0+) ist, gibt es ein y M 0+ mit m < y < x < m + 1/2m. Das heißt x - y (M 0+) aber x - y < 1/2m. Also ist m = 0. Das heißt zu jedem > 0 gibt es ein x M mit 0 < x < . Seien r < s 0+. Dann gibt es ein x 0+ mit 0 < x < s - r. Zu dem x gibt es eine größte natürliche Zahl n mit 0 < nxr. Also ist r < (n + 1) . x = n . x + x < r + (s - r) = s. Die Behauptung folgt.
3.
1. Ist e > 0 ein gemeinsames Maß, von a und b, so ist
M e. Andererseits gibt es in M ein x mit 0 < x < e. Dies ist
ein Widerspruch.
Dieser Satz kann stark verallgemeinert werden:
1. Fall: v D = {}. Wir betrachten v D. Ich bezeichne mit Q = a0I + ...akI, wobei I = [0, 1] das Einheitsintervall ist. Q ist das von a0,..., ak aufgespannte Parralelotop. Zu jedem v . z v gibt es einen Punkt dz D, mit v . z dz + Q. Ist z1 z2, so ist v . z1 - dz1 v . z2 - dz2. Denn angenommen v . z1 - dz1 = v . z2 - dz2. Dann ist v(z1 - z2) = dz1 - dz2 D. Also ist z1 - z2 = 0. Das heißt z1 = z2 im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind für verschiedene z die vz - dz Q verschieden. Das heißt Q enthält unendlich viele verschiedene Elemente aus v D. Nach dem Satz von Bolzano Weierstrass hat daher Q (v + D) Häufungspunkte.
2.Fall:
v D {}. Es gibt daher ein
r 0, r mit
v . r = d D und d 0. Die Zahl r ist nicht
rational. Denn wäre
r = , so wäre
v . m = d . n v D. Das geht nicht. Daher ist r
nicht rational. Also liegen auf der Geraden
v die maßfremden Vektoren
v und vr. Daher ist
v vr dicht in
v. Also hat
v vr dicht in
v. Damit hat erst recht
M Häufungspunkte.
Das für uns wichtigste Beispiel ist folgendes: Ich bezeichne mit D die
Drehung um 720. Also die Drehung, die zum regulären Fünfeck gehört.
D2() ( D()) = {}. |
|
Betrachtet man die Abbildung 3 so sieht man, dass
D2() + = . D()
gilt. Sei eine Gleichung
gegeben. Man erhält:
|
Ich will diese Überlegungen etwas prinzipieller angehen. Sei V ein reeller Vektorraum (endlicher Dimension). f : V V ein Homomorphismus. U V heißt abgeschlossen gegenüber f , wenn f (U) U. Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Da der Durchschnitt von abelschen Gruppen auch eine abelsche Gruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge U V eine kleinste abelsche Gruppe, welche U enthält und abgeschlossen gegenüber f ist.
v + D2(v) | = | . D(v) |
Zu zeigen bleibt, dass die Summe direkt ist. Sei dazu
v . z0 + D(v) . z1 + D2(v) . z2 + D3 . z3 = 0 |
z0 - z2 | = | z3 | |
- z1 | = | z2 + z3 |
Da D(v) und
D4(v) M sind, ist
D(v) + D4(v) = . v M. Außerdem ist
v + D2(v) = . D(v) M. Es ist
U = D(v) . D(v) dicht in
D(v) und
V = v + . v dicht in
v. Daher ist
U V dicht in
v D(v) = 2.
Tatsächlich ist sogar gezeigt worden:
M ist ein
[] Modul. Das ,,Gitter`` welches von v und
D erzeugt wird ist also gegenüber zentrischen Streckungen um und
abgeschlossen.
Beweis:Ist F eine Drehung um 720 um einen Punkt
m M, so ist F
die verkettung einer Verschiebung um - m einer Drehung um den Nullpunkt und
einer Verschiebung um m.
M ist aber gegenüber einer Verschiebung
um einen Vektor aus M abgeschlossen. Also folgt die Behauptung.
Studiert man den Beweis genau, so erkennt man: Es war eigentlich nur wichtig, dass die Drehung um 720 eine Nullstelle des Polynoms f (X) = X2 - . X - 1 ist.
Dies legt es nahe, dass es einen Beweis des Satzes gibt der mehr Algebra benutzt aber aus dem sich auch wesentlich allgemeinere Erkenntnisse liefert. Dazu muss ich etwas ausholen. Sei V ein reeller Vektorraum. und f : V V ein Homomorphismus. Es sei weiter S = Hom(V, V) der Endomorphismenring von V. Mit der Definition f . v : = f (v) wird V auf der linken Seite zu einem S- Modul. Ist R = [X] der Polynomring in einer Unbestimmten über den rationalen Zahlen, so ist R ein Hauptidealring.Setzen wir in jedem Polynom für die Unbestimmte den Homomorphismus f ein, so erhalten wir einen Ringhomomorphismus : [X] S. Dadurch wird V zu einem [X]- Modul. Sei nun V = 2. Es ist D5 - Id die Nullabbildung. Andererseits ist D - Id ein Isomorphismus. Daher ist D4 + D3 + D2 + D1 + Id die Nullabbildung. Sei nun Di(v)zi = 0. Wir betarchten das Polynom f (X) = Xizi [X]. Da g = 1 + X + X2 + X3 + X4 ein normiertes Polynom ist, kann man f durch g mit Rest teilen. Es gibt also eindeutig bestimmte Polynome
Andreas Bartholome