Aufgaben:

1. Sei c > 0. a₀ : = c und a_n+1 : = $\sqrt{{a_n}}$. Zeigen Sie die Folge konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert.
2. Zeige die Folge
3. Sei in der logistischen Gleichung 1.7 sei r = 1.9. Wähle als Startwert a₀ : = 0.1.
   1. Zeige: Die Folge ist konvergent.
   2. Berechne den Grenzwert der Folge.
4. Sei r = 2.1. Beantworte mit diesem Parameter die gleichen Fragen wie in der Aufgabe vorher.
5. Sei $\mathbb {R}$ $\ni$ a > 1. a₀ : = a und a_n+1 : = ${\frac{{1}}{{2}}}$ ^. (a_n + ${\frac{{a}}{{a_n}}}$). Zeige die Folge konvergiert. Berechne den Grenzwert.
6. Gegeben sind die Folgen durch Rekursion: Beweise, dass die Folgen konvergieren und berechnen Sie den Grenzwert.
   1. a₀ : = 0, a_n+1 : = $\sqrt{{3+a_n}}$.
   2. a₀ : = 0, a_n+1 : = $\sqrt{{5+a_n}}$.
   3. a₀ : = 2, a_n+1 : = ${\frac{{a_n}}{{1+a_n}}}$.
7. Genügt ein Turm von endlicher Höhe, damit sein Lift aus 10m Höhe wieder um die Hälfte dieser Höhe abwärts, dann um 40m aufwärts, dann um die Hälte dieser Höhe abwärts, dann wieder um 40m aufwärts fahren kann usw. ?
8. Für zwei positive Zahlen a, b definieren wir die Folgen (a_n) und (b_n) folgendermaßen. a₀ : = ${\frac{{a+b}}{{2}}}$. b₀ : = $\sqrt{{a\cdot b}}$ a_n+1 : = ${\frac{{a_n+b_n}}{{2}}}$ b_n+1 : = $\sqrt{{a_n\cdot b_n}}$. Man beweise, dass beide Folgen den selben Grenzwert haben. Das sogenannte ,,arthmetische geometrische Mittel``.
9. Die Folge (a_n) ist folgendermaßen definiert: a₀ : = 0, a₁ : = 1 und a_n+1 : = a_n + a_n+1. Dies ist die Fibionacci Folge. Zeige:
   1. a_n+1 ^. a_n-1 - a_n² = (- 1)ⁿ für alle n $\in$ $\mathbb {N}$
   2. Zeige: Die Quotientenfolge b_n : = $${\frac{{a_n}}{{a_{n-1}}}}$$ ist konvergent. Welchen Grenzwert hat sie?

10. Die Folge (a_n) sei folgendermaßen definiert: (a₀) : = 0. a_n+2 : = 2 ^. a_n+1 + a_n. Konvergiert die Folge? Wenn ja berechne den Grenzwert.
11. Die Folge (a_n) sei folgendermaßen definiert: (a₀) : = 0. a_n+2 : = 3 ^. a_n+1 + a_n. Konvergiert die Folge? Wenn ja berechne den Grenzwert.
12. Die Folge (a_n) sei folgendermaßen definiert: (a₀) : = 0. a_n+2 : = b ^. a_n+1 + a_n. Konvergiert die Folge? Wenn ja berechne den Grenzwert. Dabei ist b irgend eine feste positive Zahl.

13. Wir definieren folgendermaßen induktiv zwei Folgen: a₀ : = 3, b₀ : = 2 und a_n+1 : = 3 ^. a_n +4 ^. b_n, b_n+1 : = 2 ^. a_n +3 ^. b_n.
    1. Berechne die Folgenglieder für möglichst große n $\in$ $\mathbb {N}$.
    2. Zeigen Sie: Für alle n $\in$ $\mathbb {N}$ ist (a_n)² -2 ^. (b_n)² = 1.
    3. Zeigen Sie: Die Folge ${\frac{{a_n}}{{b_n}}}$ konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert.

14. Zeige: In der Methode von Archimedes ist (U_n) eine monoton wchsende beschränkte Folge.