Homomorphismen

Es ist immer wichtig die strukturerhaltenden Abbildungen zu betrachten: Die Frage ist: Meinen der Urzeithirte Abel und Aryabhata dasselbe? Bedeuten die Zeichenreihen |||| und 100 dasselbe? Gibt es eine Übersetzung, die mit dem ,,Eins weiter`` des Urzeithirten und dem ,,Eins weiter `` des Inders verträglich ist? Ist folgendes Diagramm kommutativ?

	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\alpha}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$	|	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\alpha}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$	||	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\alpha}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$
$\downarrow{f}$		$\downarrow{f}$		$\downarrow{f}$
0	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\beta}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$	1	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\beta}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$	10	$\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\beta}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$}$

Wenn Abel eins weiter geht und dann übersetzt, muss dasselbe herauskommen, wie wenn zuerst übersetzt wird und dann der Inder eins weiter geht. Betrachtet man die Paare der Kette so sieht man die Menge der Paare

$$\{(a,f(a))\vert a$$    ein Strichmuster $$\wedge f(a)$$    ein 01 Muster$$\}$$

ist gegenüber der Abbildung $(\alpha\vert\beta)$ abgeschlossen. Tatsächlich gibt es eine solche Übersetzung. Sie ist leicht zu programmieren.

Betrachten wir andererseits das Bild 4, so sehen wir sofort, dass eine solche Übersetzung vom ,,einfachsten Zykel`` in den ,,Kreis`` nicht gelingen kann.

Satz 2.3   Sind $(A,\alpha)$ und $(B,\beta)$ zwei Ketten, so sind für eine Abbildung $f:A\rightarrow B$ äquivalent:

1. Das Diagramm ist kommutativ.

   $\begin{array}[t]{ccc} A &\mbox{$ \displaystyle \stackrel{\alpha}{\mbox{$\make... ...yle \stackrel{\beta}{\mbox{$\makebox[3em]{\rightarrowfill}$}}$} &B \end{array}$
2. Der Graph $G=\{(a,f(a))\vert a\in A\}$ ist gegenüber $(\alpha, \beta)$ abgeschlossen.
3. Für alle $a \in A$ ist $f(\alpha(a))=\beta(f(a))$.

Beweis:1. $\Rightarrow$ 3. Sei $a \in A$. Dann ist $f(\alpha(a))=\beta(f(a))$ für alle $a \in A$ wegen der Kommutativität des Diagramms.

3. $\Rightarrow 2.$ Es sei $(a,f(a))\in G$. Dann ist $f(\alpha(a))=\beta(f(a))$. Also ist $(\alpha(a),f(\alpha(a)))=(\alpha(a),\beta(f(a)))\in G$. Also ist $(\alpha,\beta)(a,f(a))) \in G$. Also ist $G$ gegenüber $(\alpha, \beta)$ abgeschlossen.

2. $\Rightarrow$ 1. Sei $a \in A$. $(a,f(a)))\in G$ Also ist $(\alpha(a),\beta f(a))\in G$. Da $f$ eine Funktion ist, ist $f(\alpha(a))=\beta(f(a))$. Das war behauptet. $\Box$

Erklärung 2.4   Sind $(A,\alpha)$ und $(B,\beta)$ Ketten, so heißt $f:A\rightarrow B$ ein Homomorphismus, wenn $f$ die Eigenschaften des Satzes erfüllt.

Beispiele:

1. Sei $\alpha:\mathbb{R}\ni x\mapsto -x \in\mathbb{R}$. Wählt man im Ziel $\beta=\alpha$ so sind die Homomorphismen $($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\alpha)\rightarrow ($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\alpha)$ gerade die Abbildungen $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(-x)=-f(x)$ für alle $x\in \mathbb{R}$. Also die zum 0-Punkt punktsymmetrischen Abbildungen.
2. Sei $\alpha:$$\mbox{$\mathbb{R}$}$$\ni x \mapsto -x\in$$\mbox{$\mathbb{R}$}$ und $\beta:$$\mbox{$\mathbb{R}$}$$\ni x\mapsto x\in$   $\mbox{$\mathbb{R}$}$ die Identität. Die Homomorphismen $f:($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\alpha)\rightarrow ($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\beta)$ sind gerade die Abbildungen, die symmetrisch gegenüber der $y-$ Achse sind.
3. Sei $\alpha:$$\mbox{$\mathbb{R}$}$$\ni x\mapsto x+c\in$   $\mbox{$\mathbb{R}$}$ und $\beta$ die Identität. Dann sind die Homomorphismen $f:($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\alpha)\rightarrow ($$\mbox{$\mathbb{R}$}$$,\beta)$ gerade die periodischen Abbildungen mit der Periode $c$.
4. Ich habe hier ein paar Beispiele von Homomorphismen gemalt:

   

Satz 2.4   Die Klasse der einstelligen Algebren bilden zusammen mit den zugehörigen Homomorphismen eine Kategorie.

Beweis:Die Identität ist immer ein Homomorphismus. Sind $(A,\alpha),(B,\beta)$ und $(C,\gamma)$ drei Ketten und $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow C$ Homomorphismen. Dann ist für ein $a \in A$: $g\circ f(\alpha(a))=g(f(\alpha(a)))=(\beta(f(a)))=\gamma(g(f(a)))=\gamma(g\circ f(a))$. Also ist $g\circ f$ ein Homomorphismus. $\Box$

Satz 2.5  

1. In der Kategorie der einstelligen Algebren gibt es Produkte.
2. In der Kategorie der einstelligen Algebrengibt es Koprodukte.

Ist $U$ eine gegenüber $\alpha$ abgeschlossene Untermenge der Kette $(A,\alpha)$, so ist die Inklusion ein Homomorphismus. Die Abbildung $\alpha:A\rightarrow A$ ist natürlich selber ein Homomorphismus.

Ist $(A,\alpha)$ eine Kette, so ist $Hom(A,A)=[A,A]=\{g\vert g:A\rightarrow A, g\alpha=\alpha g\}$ die Menge der Abbildungen, die mit $\alpha$ kommutieren.

Satz 2.6   In der Kategorie der einstelligen Algebren gibt es Differenzkerne.

Beweis:Seien $f:(A,\alpha)\rightarrow (B,\beta)$ zwei Homomorphismen. Außerdem erfülle der Homomorphismus $h:C\rightarrow A$ die Gleichung $fh=gh$.

$$T=\{a\vert f(a)=g(a)\}$$

ist abgeschlossen gegenüber $\alpha$. Denn für ein $a\in T$ gilt: $f(\alpha(a))=\beta(f(a))=\beta(g(a))=g(\alpha(a))$. Daher ist die Inklusionsabbildung $\iota:T\ni a\mapsto a\in A$ ein Homomorphismus mit $f\iota=g\iota$. Erklären wir nun $h^{*}:C\ni c\mapsto h(c)\in T$,so ist $\iota h^{*}=h$. $h^{*}$ ist auch die einzige Abbildung, die dies erfüllt. $\Box$

Satz 2.7   Sei $(A,\alpha)$ eine von $U$ erzeugte Kette. Dann gilt für alle Ketten $(B,\beta)$ und alle Abbildungen $f:U\rightarrow B$: Es gibt höchstens einen Homomorphismus $f^{*}:A\rightarrow B$, so dass folgendes Diagramm kommutativ ist:

U	$\hookrightarrow{\iota}$	A
$\Big\downarrow{f}$		$\Big \downarrow{f^{*}}$
B	$=$	B

Beweis:Seien $g,h:A\rightarrow B$ zwei Homomorphismen, die $g(u)=h(u)=f(u)$ für alle $u\in U$ erfüllen. Durch Induktion zeige ich nun, dass $g(a)=h(a)$ für alle $a \in A$ ist. Sei dazu

$$T=\{a\vert a \in A$$    mit $$g(a)=h(a)\}$$

Nach Voraussetzung ist $U\subset T$. Ich zeige: $T$ ist gegenüber $\alpha$ abgeschlossen. Sei dazu $a\in T$. Also ist $g(a)=h(a)$. Da $g, h$ Homomorphismen sind folgt: $g(\alpha(a))= \beta(g(a))=\beta(h(a))=h(\alpha(a))$. $T$ ist gegenüber $\alpha$ abgeschlossen. Nun ist aber $A$ die kleinste Menge, die $U$ enthält und gegenüber $\alpha$ abgeschlossen ist. Daher ist $T=A$. Dies war zu zeigen. $\Box$