Beispiele:

1. Einstellige Algebren sind gut malbar. Ein paar habe ich gezeichnet. Es sind gerichtete Graphen, bei denen von jedem Knoten genau ein Pfeil ausgeht (Siehe Abbildung 4).

   Abbildung 4: gerichtete Graphen

   
2. Der Urzeithirte wird vielleicht seine Schafe folgendermaßen gezählt haben. Für jedes Schaf legt er ein Hölzchen in den Sand. Er macht sich also eine Strichliste ||||||.... Seine Funktion $\alpha$ ist also ganz einfach: Einen Strich dranhängen. Unser Ziffernsystem stammt von den Indern erfunden. Der Inder Arybhatiya hat zum ersten Mal Regeln zum Rechnen im Positionssystem angegeben. Darauf beruht die folgende raffinierte Methode des Zählens.

   0, 1, 10,11, 100,...

   Ein geistiger Nachfahre des berühmten Inders Aryabhata hat sie erfunden. Siehe das Buch ,,Lexikon bedeutender Mathematiker`` [Got90, Seite 29]

3. Berühmt sind die quadratischen Iterationen, die unter anderem die sogenannten Feigenbaumdiagramme ergeben. Betrachten wir die logistische Funktion

   $$\mbox{$\mathbb{R}$} \ni x \mapsto r\cdot (1-x)\cdot x$$ (1)

   
   

   Setzt man etwa $r=2$, so erhält man die linke Bahn von Abbildung 3 $x=0.9$. Setzt man etwa $r=3$, so erhält man die rechte Bahn von Abbildung 3 $x=0.9$.

   Abbildung 5: Bahn eines Punktes unter der logistischen Funktion

   

   

Erklärung 2.2   Eine Teilmenge $U\subset M$ ist gegenüber der Abbildung $f:M\rightarrow M$ abgeschlossen, wenn $f(U)\subset U$ gilt. Sie ist $f$-koabgeschlossen, wenn $f^{-1}(U)\subset U$ ist.

$[U]$ ist die Menge der Punkte, die von $U$ aus erreichbar sind durch $f$. Besteht $U$ nur aus einem Element, so heißt $[u]$ die von $u$ erzeugte Bahn. Die leere Menge und die Menge $M$ ist gegenüber jeder Abbildung der Menge in sich abgeschlossen.

Bemerkung 2.1 (Regeln)  

1. Ist $U\subset M$ $f$-abgeschlossen, so ist $f^{-1}(U)$ gegenüber $f$ abgeschlossen.
2. Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
3. Ist $U$ eine Teilmenge der einstelligen Algebra $A$, so gibt es eine kleinste abgeschlossen Teilmenge $[U]$, welche $U$ enthält und abgeschlossen ist.
4. Die Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Beweis:Zu 1. Sei $y\in f^{-1}(U)$. Dann ist $f(y)\in U$. Da $U$ gegenüber $f$ abgeschlossen ist, ist $f(f(y))\in U$. Daher ist $f(y)\in f^{-1}(U)$.

Zu 2. Sei $(U_{i}\vert i\in I)$ eine Familie von abgeschlossenen Mengen und $x\in \bigcap_{i\in I}U_{i}$. Dann ist $f(x)\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Das heißt $x\in \bigcap_{i\in I}U_{i}$

Zu 3. Der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen, die $U$ enthalten, ist die kleinste abgschlossene Teilmenge, die $U$ enthält.

Zu 4. Sei $(A_{i}\vert i\in I)$ eine Familie von gegenüber $f$ abgeschlossenen Teilmengen. Weiter sei $a$ in $\cup_{i\in I}A_{i}$. Dann gibt es ein $i\in I$ mit $a\in A_{i}$. Also ist $f(a)\in A_{i}\subset \cup_{i\in I}A_{i}$. $\Box$

Erklärung 2.3   Sei $(A,\alpha)$ eine einstellige Algebra und $U\subset A$ eine Teilmenge von $A$ mit $[U]=A$. Dann heißt $U$ Erzeugendensystem von $A$. Man sagt $U$ erzeugt $A$.

Satz 2.2 (Regeln)   Es sei $(A,\alpha)$ eine einstellige Algebra. Und $U\subset A$. Es gilt:

1. $[U]=U\cup \alpha([U])$.
2. $\alpha([U]) =[\alpha(U)]$.
3. Für alle $x,y\in [a]$ so gilt: $[x]\bigcap [y]\neq \emptyset$.
4. Es ist $[U]=\bigcup\limits_{{u\in U}}[u]$.

Beweis:Zu 1.: $U$ enthält $U\bigcup \alpha([U)$. Außerdem ist $U\bigcup \alpha([U])$ abgeschlossen gegenüber $\alpha$ und enthält $U$. Daher ist $U\bigcup \alpha([U)=[U$.

Zu 2.: $\alpha([U])$ ist abgeschlossen gegenüber $\alpha$ und enthält $\alpha(U)$. Also ist $\alpha([U]) =[\alpha(U)]$.

Zu 3. In Worten kann man dies so fassen: Sind $x$ und $y$ von $a$ aus erreichbar, so gibt es Punkte, die von $x$ und $y$ aus erreichbar sind.

Es ist $[x]\bigcap [a]=[x]\neq \emptyset$. Sei

$$T=\{b\vert[x]\bigcap [b]\neq\emptyset b\in [a]\}.$$

Es ist $a\in T$. Sei $b\in T$. Dann ist $[x]\bigcap [b]\neq \emptyset$.Es gibt also ein $c \in [b]$ mit $c\in [x]$. Also ist $\alpha(c)\in [\alpha(b)]$ und $\alpha(c)\in [x]$. $T$ ist daher gegenüber $\alpha$ abgeschlossen. Also ist $T=[a]$. $\Box$