Lösungen

Lösungen:

1. 1. Wir ordnen die Schüler nach der Anzahl der Münzen, die sie besitzen. a > b > c > d > e > f > g. Angenommen es ist a + b + c < 50. Dann muss c$\le$15 sein. Denn 15 + 16 + 17 = 51 Also ist d$\le$14, e$\le$13, f$\le$12 und g$\le$11. Wir erhalten: (a + b + c) + (d + e + f + g) < 50 + (14 + 13 + 12 + 11) = 50 + 50 = 100. Dies widerspricht der Voraussetzung.

   2. Bild 1.1: Fünfeck

      

      
      

      Ich betrachte ein beliebiges konvexes Fünfeck. Die Länge der längsten Diagonalen nenne ich c. In der Zeichnung ist das $\overline{{AD}}$. Auf einer Seite von AD liegen zwei weitere Punkte des Fünfecks. In der Zeichnung sind das die Punkte B, C. Durch A geht die weitere Diagonale AC mit der Länge a und durch D geht die weitere Diagonale DB mit der Länge b. Da auch das Viereck ABCD konvex ist schneiden sich die Diagonalen DB und AC im Viereck etwa in S.

      Wegen der Dreiecksungleichung folgt: c < $\overline{{AS}}$ + $\overline{{SD}}$ < a + b. Da c sowieso die größte der Diagonalen ist, gilt auch c + a > b und c + b > a. Also ist das Dreieck mit diesen drei Seiten konstruierbar.
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