Kommensurable Größen

Wenn die Welt aus kleinsten Teilchen aufgebaut ist, so sollte zumindest die Göttin der Wissenschaft, Athene, Atome finden können. Reihen sich Atome in der Diagonale und der Seite des Fünfeckes lückenlos aneinander, und sind Diagonale und Seite aus dem gleichen Material, so sollte das Atom ein gemeinsames Maß für beide sein. Euklid erklärt in [Euk73, Seite 213]: Kommensurabel heißen Größen, die von demselben Maß gemessen werden, und inkommensurabel solche, für die es kein gemeinsames Maß gibt. Wenn man den Begriff ,,Größe`` durch Zahl ersetzt ergibt sich die Definition:

Definition 3.1   Zwei reelle Zahlen a, b $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ heißen kommensurabel, oder haben ein gemeinsames Maß, wenn es eine Zahl e und ganze Zahlen n, m gibt mit a = e ^. n und b = e ^. m

Eine Zahl e teilt eine Zahl a, wenn es eine ganze Zahl n gibt mit a = n ^. e. Dann haben zwei Zahlen genau dann ein gemeisames Maß, wenn sie einen gemeinsamen Teiler haben. Wie findet man ein gemeinsames Maß? Das entscheidende Hilfsmittel ist der heimliche Hauptsatz der Algebra: Er lautet:

Satz 3.1   Für einen geordneten Körper K sind äquivalent:

1. $\mbox{$\mathbb{N}$}$ ist nach oben unbeschränkt in K.
2. Zu jedem k $\in$ K gibt es genau eine ganze Zahl [k] $\in$ $\mbox{$\mathbb Z$}$ mit 0$\le$k - [k] < 1.
3. Zu je zwei positiven Zahlen a$\ge$0, b > 0 gibt es 0$\le$r < b und q $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ mit

   a = q ^. b + r (8)

   
   

Beweis:

1. bedeutet, dass der Körper archimedisch angeordnet ist.

1. $\Longrightarrow$2. Eine Zahl k$\ge$ 0 beschränkt $\mbox{$\mathbb{N}$}$ nicht nach oben. Daher gibt es eine kleinste Zahl n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ mit k < n + 1. Also ist n$\le$k < n + 1 und daher 0$\le$k - n < 1. Ist k < 0 so ist - k > 0. Es gibt eine kleinste Zahl n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ mit (n - 1) < - k < n. Also - n$\le$k < - n + 1. Mit z = - n folgt 0 < k - z = r + n < 1. Das heißt zu jedem k $\in$ K gibt es ein solches z. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen.

Aus 0$\le$k - z₁ < 1 und 0$\le$k - z₂ < 1 folgt | z₁ - z₂| < 1. Und daher ist z₁ = z₂.

2. $\Longrightarrow$3. Es ist 0$\le$${\frac{{a}}{{b}}}$ - $\left[\vphantom{\frac{a}{b}}\right.$${\frac{{a}}{{b}}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{b}}\right]$. Mit b > 0, q = $\left[\vphantom{\frac{a}{b}}\right.$${\frac{{a}}{{b}}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{b}}\right]$ und r = $\left(\vphantom{\frac{a}{b}-\left[\frac{a}{b}\right]}\right.$${\frac{{a}}{{b}}}$ - $\left[\vphantom{\frac{a}{b}}\right.$${\frac{{a}}{{b}}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{b}}\right]$$\left.\vphantom{\frac{a}{b}-\left[\frac{a}{b}\right]}\right)$ ^. b folgt die Gleichung 8.

3. $\Longrightarrow$1.: Sei a $\in$ K und a > 0. Zu b = 1 gibt es ein q $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ mit a = q ^. b + r und r < 1. Daher ist a < q + 1. Das heißt K ist archimedisch angeordnet. $\Box$

Der Satz hat eine ganz anschaulische Bedeutung. Beginnt ein Rad mit dem Umfang b auf der Zahlengeraden bei 0 zu rollen, so erreicht es schließlich jede noch so große Zahl a. Es gibt eine Zahl q von Umdrehungen derart, dass das Rad gerade noch vor a sich befindet. Der Rest der vom Rad noch abrollt ist kleiner als der Umfang b.

Dieser Satz 3.1 ermöglicht es von zwei Zahlen ein gemeinsames Maß zu finden falls es existiert. Wie das funktioniert lehrte schon Euklid [Euk73, Seite 143].

Wegen der Gleichung ist das größte gemeinsame Maß von a und b auch größtes gemeinsames Maß von b und r. Also es gilt ggM(a,b)=ggM(b,r). Führt dieser rekursive Algorithmus zum ersten Mal auf ein Zahlenpaar (d, 0) so ist d das größte gemeinsame Maß der beiden Zahlen. Dieser Algorithmus heißt euklidischer Algorithmus.

Es kann aber sein, dass der Algorithmus unendlich lange läuft also nicht abbricht. Dann entsteht eine unendliche Folge (a_n) mit der Eigenschaft: a_n = q_n+1 ^. a_n+1 + a_n+2, wobei q_n natürliche Zahlen $\ge$1, und alle a_n 0 sind. Zum bequemeren Sprechen will ich solche Folgen euklidische Folgen nennen.

Hilfssatz 3.2   Ist (a_n) eine euklidische Folge, so gilt für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$:

$$\le {\frac{{1}}{{2^{n}}}}$$ (9)

Dies ist genauso wie in der Ungleichung 3

Beweis:Sicher ist a₀$\le$a₀. Gelte die Behauptung für n: a_2n$\le$${\frac{{1}}{{2^{n}}}}$ ^. a₀. Es ist:

a_2n = q_2n+1 ^. a_2n+1 + a_2n+2

a_2n+1 = q_2n+2 ^. a_2n+2 + a_2n+3

$${\frac{{1}}{{q_{2n+1}\cdot q_{2n+2}+1}}}$$ a_2n+2 =

$${\frac{{1}}{{2}}} {\frac{{1}}{{2^{n+1}}}}$$ a_2n+2 <

Daraus folgt die Behauptung durch vollständige Induktion. $\Box$
Als Folgerung ergibt sich das Kriterium für Kommensurabilität von Euklid:

Satz 3.3 (Euklid)   Der euklidische Algorithmus bricht genau dann ab, wenn die Startzahlen a, b ein gemeinsames Maß haben. [Euk73, Seite 214]

Beweis:Bricht die Folge ab, so ist das letzte Folgenglied > 0 gemeinsames Maß der Startwerte a, b. Man überlegt sich auch, dass dies das größte gemeinsame Maß ist.

Bricht die Folge nicht ab, so entsteht mit a₀ = a und a₁ = b eine euklidische Folge. Man argumentiert nun genauso wie im Falle des Fünfecks, dass es kein gemeinsames Maß geben kann. $\Box$
Betrachtet man aufs neue die durch zwei Zahlen a, b erzeugte euklidische Folge, so sieht man durch Induktion, dass jedes Element der Folge in dem $\mbox{$\mathbb Z$}$-Modul a$\mbox{$\mathbb Z$}$ + b$\mbox{$\mathbb Z$}$ ist.

Hinweise:

1. Euklid definiert in dem V. Buch 4. ,,Dass sie ein Verhältnis zueinander haben, sagt man von Größen, die vervielfältigt einander übertreffen können.`` [Euk73, Seite 91]. Das heißt in unserer Sprache: Zwei Zahlen a, b haben ein Verhältnis genau dann, wenn es n, m $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ gibt mit n <sup>.</sup> a > b und m <sup>.</sup> b > a. Sicher wusste er, dass es andere Größen geben kann. Sonst hätte er dies nicht eigens definiert. Die Namensgebung ,,archimedischer`` Körper ist also - wie so oft Namensgebungen in der Mathematik- falsch. Euklid kannte die Eigenschaft lange vor Archimedes. Heute weiß man, dass es geordnete Körper gibt, in denen $\mbox{$\mathbb{N}$}$ nach oben beschränkt ist, sogenannte hyperreelle Zahlen.
2. Ist K archimedisch, dies wollen wir in Zukunft voraussetzen, so sind q und r im Satz 3.1 eindeutig bestimmt.

Satz 3.4   Äquivalent sind für a, b $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$:

1. a, b sind inkommensurabel.
2. a$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\cap$ b$\mbox{$\mathbb Z$}$ = 0.
3. a$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ b$\mbox{$\mathbb Z$}$ ist dicht in $\mbox{$\mathbb{R}$}$

Beweis:1. $\Longrightarrow$2. Angenommen es gibt 0 $\neq$ c $\in$ a$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\cap$ b$\mbox{$\mathbb Z$}$. Dann kann c > 0 angenommen werden. Es sei c = a ^. z₁ = b ^. z₂ mit z₁, z₂ $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$. Dann ist a = ${\frac{{c}}{{z_{1}}}}$ und b = ${\frac{{c}}{{z_{2}}}}$. Ist e = ${\frac{{c}}{{z_{1}\cdot z_{2}}}}$, so ist a = e ^. z₂ und b = e ^. z₁. Dann haben a, b das gemeinsame Maß e im Widerspruch zur Vorrausetzung

2. $\Longrightarrow$3. Sei M = a$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ b$\mbox{$\mathbb Z$}$. Dies ist eine abelsche Gruppe. Sei m = inf M $\cap$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺. Angenommen m > 0. Dann gibt es x $\in$ M mit m$\le$x < m + 1/2m. Es ist x $\neq$ m. Denn wäre m = x, so hat man x = az₁ + bz₂ $\in$ M. Es lässt sich schreiben: a = q ^. x + r mit q $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ und 0$\le$r < x. Also ist r $\in$ M. Dies widerspricht der Minimaleigenschaft von m. Also ist m < x < m + ${\frac{{1}}{{2}}}$m. Da m = inf(M $\cap$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺) ist, gibt es ein y $\in$ M $\cap$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ mit m < y < x < m + 1/2m. Das heißt x - y $\in$ (M $\cap$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺) aber x - y < 1/2m. Also ist m = 0. Das heißt zu jedem $\epsilon$ > 0 gibt es ein x $\in$ M mit 0 < x < $\epsilon$. Seien r < s $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺. Dann gibt es ein x $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$₀⁺ mit 0 < x < s - r. Zu dem x gibt es eine größte natürliche Zahl n mit 0 < nx$\le$r. Also ist r < (n + 1) ^. x = n ^. x + x < r + (s - r) = s. Die Behauptung folgt.

3. $\Longrightarrow$1. Ist e > 0 ein gemeinsames Maß, von a und b, so ist M $\subset$ e$\mbox{$\mathbb Z$}$. Andererseits gibt es in M ein x mit 0 < x < e. Dies ist ein Widerspruch. $\Box$
Dieser Satz kann stark verallgemeinert werden:

Satz 3.5   Sei M eine endlich erzeugte freie abelsche Untergruppe des reellen Vektorraums V. Hat der von M erzeugte Untervektorraum eine kleinere Dimension als die Dimension von M als abelsche Gruppe, so gibt es in V Häufungspunkte von M

Beweis:Es sei M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = a₀$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ ...a_n$\mbox{$\mathbb Z$}$. Es ist {a₀,$\dot{,}$a_n} ein $\mbox{$\mathbb Z$}$- Basis von M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Da die Dimension des von M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} erzeugte Vektorraums kleiner als n + 1 ist, gibt es ein kleinstes k $\in$ {0, 1,..., n}, so dass a₀,...a_k noch linear unabhängig über $\mbox{$\mathbb{R}$}$ sind aber nicht mehr a₀,...a_k, a_k+1. Das heißt a₀$\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\oplus$ ... $\oplus$ a_k$\mbox{$\mathbb{R}$}$ = a₀$\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\oplus$ ... $\oplus$ a_k$\mbox{$\mathbb{R}$}$ + a_k+1$\mbox{$\mathbb{R}$}$ Es sei v = a_k+1. und D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = a₀$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ ... $\oplus$ a_k$\mbox{$\mathbb Z$}$.

1. Fall: v$\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\cap$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = {$\vec{{0}}\,$}. Wir betrachten v$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\subset$ D_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$}. Ich bezeichne mit Q = a₀I + ...a_kI, wobei I = [0, 1] das Einheitsintervall ist. Q ist das von a₀,..., a_k aufgespannte Parralelotop. Zu jedem v ^. z $\in$ v$\mbox{$\mathbb Z$}$ gibt es einen Punkt d_z $\in$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}, mit v ^. z $\in$ d_z + Q. Ist z₁ $\neq$ z₂, so ist v ^. z₁ - d_z1 $\neq$ v ^. z₂ - d_z2. Denn angenommen v ^. z₁ - d_z1 = v ^. z₂ - d_z2. Dann ist v(z₁ - z₂) = d_z1 - d_z2 $\in$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Also ist z₁ - z₂ = 0. Das heißt z₁ = z₂ im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind für verschiedene z die v_z - d_z $\in$ Q verschieden. Das heißt Q enthält unendlich viele verschiedene Elemente aus v$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Nach dem Satz von Bolzano Weierstrass hat daher Q $\cap$ (v$\mbox{$\mathbb Z$}$ + D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}) Häufungspunkte.

2.Fall: v$\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\cap$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} $\neq$ {$\vec{{0}}\,$}. Es gibt daher ein r $\neq$ 0, r $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ mit v ^. r = d $\in$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} und d $\neq$ 0. Die Zahl r ist nicht rational. Denn wäre r = ${\frac{{m}}{{n}}}$ $\in$ $\mbox{$\mathbb Q$}$, so wäre v ^. m = d ^. n $\in$ v$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\cap$ D_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Das geht nicht. Daher ist r nicht rational. Also liegen auf der Geraden v$\mbox{$\mathbb{R}$}$ die maßfremden Vektoren v und vr. Daher ist v$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ vr$\mbox{$\mathbb Z$}$ dicht in v$\mbox{$\mathbb{R}$}$. Also hat v$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ vr$\mbox{$\mathbb Z$}$ dicht in v$\mbox{$\mathbb{R}$}$. Damit hat erst recht M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} Häufungspunkte. $\Box$
Das für uns wichtigste Beispiel ist folgendes: Ich bezeichne mit D die Drehung um 72⁰. Also die Drehung, die zum regulären Fünfeck gehört.

Bemerkung 3.6   Ist D die Drehung um 72⁰, und ist $\vec{{e_{0}}}\,$ = $\left(\vphantom{\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array}}\right.$$\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array}$$\left.\vphantom{\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array}}\right)$, so sind $\vec{{e_{0}}}\,$, D($\vec{{e_{0}}}\,$), D²($\vec{{e_{0}}}\,$) linear unabhängig über $\mbox{$\mathbb Z$}$. Insbesondere ist

$$\vec{{e_{0}}}\, \mbox{$\mathbb Z$} \cap \vec{{e_{0}}}\, \mbox{$\mathbb Z$} \oplus \vec{{e_{0}}}\, \mbox{$\mathbb Z$} \vec{{0}}\,$$

Beweis:

Betrachtet man die Abbildung 3 so sieht man, dass D²($\vec{{e_{0}}}\,$) + $\vec{{e_{0}}}\,$ = ${\frac{{1}}{{\Phi}}}$ ^. D($\vec{{e_{0}}}\,$) gilt. Sei eine Gleichung

$$\vec{{e_{0}}}\, \vec{{e_{0}}}\, \vec{{e_{0}}}\, \vec{{0}}\,$$ (10)

gegeben. Man erhält:

$$\vec{{e_{0}}}\, \vec{{e_{0}}}\, \vec{{e_{0}}}\, \vec{{0}}\,$$ =

$$\vec{{e_{0}}}\, {\frac{{1}}{{\Phi}}} \vec{{e_{0}}}\, \vec{{e_{0}}}\, \vec{{0}}\,$$ =

$$\vec{{e_{0}}}\, {\frac{{1}}{{\Phi}}} \vec{{e_{0}}}\, \vec{{0}}\,$$ =

Es sind $\vec{{e_{0}}}\,$ und D($\vec{{e_{0}}}\,$) linear unabhängig. Wäre c $\neq$ 0, so wäre $\Phi$ rational. Das kann nicht sein. $\Box$

Ich will diese Überlegungen etwas prinzipieller angehen. Sei V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} ein reeller Vektorraum (endlicher Dimension). f : V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} $\rightarrow$ V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} ein Homomorphismus. U $\subset$ V heißt abgeschlossen gegenüber f , wenn f (U) $\subset$ U. Der Durchschnitt abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Da der Durchschnitt von abelschen Gruppen auch eine abelsche Gruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge U $\subset$ V eine kleinste abelsche Gruppe, welche U enthält und abgeschlossen gegenüber f ist.

Satz 3.7   Ist V = $\mbox{$\mathbb{R}$}$² und D die Drehung um 72⁰, so gilt. Ist 0 $\neq$ v $\in$ V, so ist die kleinste gegenüber D abgeschlossene Untergruppe, welche v enthält als $\mbox{$\mathbb Z$}$ Modul 4 dimensional und liegt dicht in V.

Beweis:Es ist M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = $\sum\limits_{{i=0}}^{{\infty}}$Dⁱ(v)$\mbox{$\mathbb Z$}$ sicherlich gegenüber eine gegenüber D abgeschlossene abelsche Gruppe, welche v enthält. Aus der Bemerkung 3.6 wissen wir, dass

$$\varphi$$ v + D²(v) =

ist. Dabei ist $\varphi$ = ${\frac{{1}}{{\Phi}}}$ und $\Phi$ ist die Zahl des goldenen Schnittes. Wir erhalten:

$$\varphi$$ D²(v) =

$$\varphi^{{2}}_{} \varphi$$ D³(v) =

$$\varphi \varphi$$ = (11)

$$\varphi \varphi$$ D⁴(v) = (12)

Die Umrechnung gilt, da $\varphi^{{2}}_{}$ - $\varphi$ - 1 = 0 ist. Ist U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = v$\mbox{$\mathbb Z$}$ + D(v)$\mbox{$\mathbb Z$}$ + D²$\mbox{$\mathbb Z$}$ + D³$\mbox{$\mathbb Z$}$, so ist mit v, D(v), D²(v) auch $\varphi$ ^. D(v) $\in$ U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Also ist mit D³(v) auch $\varphi$ ^. D(v) $\in$ U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Damit ist aber auch D⁴(v) $\in$ U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Es ist also U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}.

Zu zeigen bleibt, dass die Summe direkt ist. Sei dazu

Setzen wir D²(v) und D³(v) ein und bedenken, dass v und D(v) über $\mbox{$\mathbb{R}$}$ linear unabhängig sind, so erhalten wir:

$$\varphi$$ z₀ - z₂ =

$$\varphi \varphi$$ - z₁ =

Bedenkt man noch, dass $\varphi$ irrational ist, so folgt z₀ = z₁ = z₂ = z₃ = 0. Also sind die 4 Vektoren v, D(v), D²(v), D³(v) über $\mbox{$\mathbb Z$}$ linear unabhängig. Als letztes müssen wir uns noch überlegen, warum M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} dicht in $\mbox{$\mathbb{R}$}$² ist.

Da D(v) und D⁴(v) $\in$ M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} sind, ist D(v) + D⁴(v) = $\varphi$ ^. v $\in$ M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Außerdem ist v + D²(v) = $\varphi$ ^. D(v) $\in$ M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}. Es ist U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = D(v)$\mbox{$\mathbb Z$}$ $\oplus$ $\varphi$ ^. D(v)$\mbox{$\mathbb Z$}$ dicht in D(v)$\mbox{$\mathbb{R}$}$ und V_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} = v$\mbox{$\mathbb Z$}$ + $\varphi$ ^. v$\mbox{$\mathbb Z$}$ dicht in v$\mbox{$\mathbb{R}$}$. Daher ist U_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} $\oplus$ V_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} dicht in v$\mbox{$\mathbb{R}$}$ $\oplus$ D(v)$\mbox{$\mathbb{R}$}$ = $\mbox{$\mathbb{R}$}$². $\Box$
Tatsächlich ist sogar gezeigt worden: M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} ist ein $\mbox{$\mathbb Z$}$[$\Phi$] Modul. Das ,,Gitter`` welches von v und D erzeugt wird ist also gegenüber zentrischen Streckungen um $\Phi$ und $\varphi$ abgeschlossen.

Folgerung 3.8   M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} ist gegenüber jeder Drehung um 72⁰ um einen Punkt m aus M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} abgeschlossen.

Beweis:Ist F eine Drehung um 72⁰ um einen Punkt m $\in$ M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$}, so ist F die verkettung einer Verschiebung um - m einer Drehung um den Nullpunkt und einer Verschiebung um m. M_{$\mbox{$\mathbb Z$}$} ist aber gegenüber einer Verschiebung um einen Vektor aus M abgeschlossen. Also folgt die Behauptung. $\Box$

Studiert man den Beweis genau, so erkennt man: Es war eigentlich nur wichtig, dass die Drehung um 72⁰ eine Nullstelle des Polynoms f (X) = X² - $\varphi$ ^. X - 1 ist.

Dies legt es nahe, dass es einen Beweis des Satzes gibt der mehr Algebra benutzt aber aus dem sich auch wesentlich allgemeinere Erkenntnisse liefert. Dazu muss ich etwas ausholen. Sei V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} ein reeller Vektorraum. und f : V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} $\rightarrow$ V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$} ein Homomorphismus. Es sei weiter S = Hom_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$}(V, V) der Endomorphismenring von V_{$\mbox{$\mathbb{R}$}$}. Mit der Definition f ^. v : = f (v) wird V auf der linken Seite zu einem S- Modul. Ist R = $\mbox{$\mathbb Q$}$[X] der Polynomring in einer Unbestimmten über den rationalen Zahlen, so ist R ein Hauptidealring.Setzen wir in jedem Polynom für die Unbestimmte den Homomorphismus f ein, so erhalten wir einen Ringhomomorphismus $\rho$ : $\mbox{$\mathbb Q$}$[X] $\rightarrow$ S. Dadurch wird V zu einem $\mbox{$\mathbb Q$}$[X]- Modul. Sei nun V = $\mbox{$\mathbb{R}$}$². Es ist D⁵ - Id die Nullabbildung. Andererseits ist D - Id ein Isomorphismus. Daher ist D⁴ + D³ + D² + D¹ + Id die Nullabbildung. Sei nun $\sum\limits_{{i=0}}^{{n}}$Dⁱ(v)z_i = 0. Wir betarchten das Polynom f (X) = $\sum\limits_{{i=0}}^{{n}}$Xⁱz_i $\in$ $\mbox{$\mathbb Q$}$[X]. Da g = 1 + X + X² + X³ + X⁴ ein normiertes Polynom ist, kann man f durch g mit Rest teilen. Es gibt also eindeutig bestimmte Polynome