Das Fünfeck

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  Ein Vieleck, dessen Seiten alle gleich lang sind und dessen Ecken alle auf einem Kreis liegen heißt regulär. Ein reguläres Fünfeck ist einem Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt M einbeschrieben. Der Winkel bei M ist: $\angle$CMD = ${\frac{{360}}{{5}}}$ = 72⁰. Der Winkel an jeder Ecke ist

  $\angle$ABC = ${\frac{{540}}{{5}}}$ = 108⁰.

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  Sind in einem Fünfeck die Seiten gleich lang und die Winkel gleich groß, so ist es regulär.

  Das gleichschenklige Dreieck $\triangle$ABC hat einen Umkreis K(M, r). Die beiden Dreiecke $\triangle$ABM und $\triangle$BCM sind kongruent wegen dem Kongruenzsatz SSS. Also ist $\angle$MAB = $\angle$MBC = 72⁰. Daher ist $\angle$MCD = 72⁰. Dreieck $\triangle$BCM ist somit kongruent zum $\triangle$CDM wegen SWS. Also ist DM = r und D liegt auf dem Kreis K(M, r).

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  Die Teilwinkel an jeder Ecke sind alle gleich groß. Also sind sie beim regulären Fünfeck jeweils 36⁰.

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  Die Dreiecke $\triangle$D'C'A und $\triangle$BD'A sind gleichschenklig. Daher sind die spitzen Dreiecke des inneren Sterns ( $\triangle$D'C'A die Zacken) alle untereinander kongruent. Genauso sind die stumpfwinkeligen Dreiecke untereinander kongruent. Das innere Fünfeck A'B'C'D'E' ist also auch ein reguläres Fünfeck.

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  Auch das Dreieck $\triangle$BE'C' ist gleichschenklig, da es gleiche Basiswinkel hat. Bezeichnen wir mit a₀ die Diagonale des Fünfeckes mit a₁ die Seite des Fünfeckes und a₂ die Diagonale des inneren Fünfeckes, so ergibt sich:

  $$\overline{{D'B}}$$ (1)

  
  

Die folgende Zeichnung fasst die Ergebnisse nochmal zusammen.

Abbildung 1: Das Fünfeck

Das innere Fünfeck hat wieder eine Seite a₃ und so weiter. Man erhält:

a₀ = a₁ + a₂

a₁ = a₂ + a₃

$$\vdots \vdots$$ = (2)

Das kann man so weiter machen. Es ergibt sich:

a₀ = 2a₂ + a₃

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ a₂ =

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ a₂ < (3)

Ein gemeinsames Maß e von a₀ und a₁, ist daher gemeinsames Maß von a₀ und a₁, a₂.... Es ist daher e < (${\frac{{1}}{{2}}}$)^{n .} a₀ für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$. Dies geht nicht. Daher haben Diagonale und Seite im regulären Fünfeck kein gemeinsames Maß. Das $\triangle$ABE $\sim$ $\triangle$AE'C'. Es ist daher ${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ = ${\frac{{a_{1}}}{{a_{2}}}}$. Beachtet man Gleichung 1 so sieht man:

$${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}} {\frac{{a_{2}}}{{a_{1}}}} {\frac{{1}}{{\frac{a_{0}}{a_1}}}}$$

Mit $\Phi$ = ${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ folgt:

$$\Phi {\frac{{1}}{{\Phi}}}$$ (4)

Aufgaben:

1. Lassen sich die Überlegungen zum regulären Fünfeck ohne Umfangswinkelsatz durchführen?
2. Kann man die Gleichung 4 direkt an der Figur nur mit dem Strahlensatz erkennen?
3. Möchte man ein reguläres Fünfeck mit der Seite b = 1 konstruieren, so ist die Diagonale a zu konstruieren. Es ist also geometrisch die Gleichung a = 1 + 1/a zu lösen. Oder (a - 1/2)² = 5/4. Dies gelingt mit dem Höhensatz oder dem Kathetensatz von Euklid.

4. (In Gedenken an Euklid): [Euk73, Seite 83 ff]
   1. Beschreibe einem Kreis ein reguläres Fünfeck ein.
   2. Konstruiere ein reguläres 15 Eck.

5. Betrachtet man das Fünfeck nocheinmal sinnend, so sieht man,: Es gibt eine zentrische Streckung, welche [AB] in [E, C] abbildet. Der Streckfaktor ist $\Phi$. Beachte die Abbildung 2.

   Abbildung 2: Gestreckt

   
6. Wendet man die Umkehrung der zentrischen Streckung etwa 5 mal an so erhält man die Abbildung 3.

   Abbildung 3: Fuenfecke

   

   
7. Der Winkel am Streckzentrum ist 36⁰. Das ist der Winkel im Bestimmungsdreieck des 10 Ecks. Man erhält also eine schöne Figur, wenn man diesen Schweif 10 mal ums Zentrum dreht. Dabei geht B in A über und C in E. Siehe Abbildung 3.

8. Eine andere Figur erhält man, wenn man um den Mittelpunkt des ursprünglichen Fünfecks dreht.

   Abbildung 4: Fünfflocke

   
   Warum gibt es solche Schneeflocken nicht? Siehe Abbildung 4. ³
9. Wie oft umläuft man den Mittelpunkt des Kreises, wenn man auf dem Pentagramm langläuft? Wie sieht es beim Siebeneck aus. Da gibt es mehrere solche Sterne.
10. Wieviel verschieden Sterne sind möglich in einem regulären n Eck? Wie groß sind jeweils die Umlaufzahlen?
11. Leite ähnlich wie oben (geometrisch) her, dass $\sqrt{{2}}$ irrational ist.

Möchte man studieren wie man eine Sache nicht erklärt sondern nur schwafelt, so gelingt dies z.B. auf einer Internetseite von GEO

http://www.geo.de/GEO/wissenschaft_natur/2001_12_GEO_unendlichkeit_denker/