Aufgaben:

1. Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ aus $\mbox{$\mathbb N$}$ folgende Aussagen gelten.
   1. 1 + 2 + 3 +...+ n = $${\frac{{1}}{{2}}}$$ ^. n ^. (n + 1).
   2. 2 + 4 + 6 +...+2n = n ^. (n + 1).
   3. 1 + 3 + 6 +...$${\frac{{n}}{{2}}}$$ ^. (n + 1) = $${\frac{{1}}{{6}}}$$ ^. n ^. (n + 1) ^. (n + 2)
   4. 1 ^. 2 + 2 ^. 3 +...+ n ^. (n + 1) = $${\frac{{1}}{{3}}}$$ ^. n ^. (n + 1) ^. (n + 2).
   5. 1 ^. 2 ^. 3 +...+ n ^. (n + 1)$\dot{(}$n + 2) = $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. n ^. (n + 1) ^. (n + 2) ^. (n + 3).
   6. 1² +2² +3² +...+ n² = $${\frac{{1}}{{6}}}$$ ^. n ^. (n + 1) ^. (2n + 1).
   7. 1² -2² +3² -4² +...(- 1)ⁿ⁺¹*n² = (- 1)^{n+1 .} $${\frac{{1}}{{2}}}$$ ^. n ^. (n + 1).
   8. $${\frac{{1}}{{1\cdot 2}}}$$ + $${\frac{{1}}{{2\cdot 3}}}$$ +...+ $${\frac{{1}}{{n \cdot (n+1)}}}$$ = $${\frac{{n}}{{n+1}}}$$.
   9. 1³ +2³ +...+ n³ = $${\frac{{1}}{{4}}}$$ ^. n^{2 .} (n + 1)².
2. 1. Für welche n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist 2ⁿ$\ge$n?
   2. Für welche n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist 2$\ge$n²?
   3. Für welche n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist 2ⁿ > 3n² + n?
   4. Für welche n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist 2ⁿ + 1 teilbar durch 5 bezw.durch 13?
   5. Schreibt man die Zahl 1 n-mal nebeneinander, so erhält man eine natürliche Zahl. Für welche n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist diese Zahl durch 13 teilbar?
3. 1. Beweise die sogenannte Bernouillsche Ungleichung: Für alle h$\ge$ - 1 gilt: (1 + h)ⁿ$\ge$1 + n ^. h.
   2. Beweise: Für n$\ge$2 und h$\ge$ 0 gilt:
      (1 + h)ⁿ$$\ge$$1 + n ^. h + n ^. (n - 1) ^. $${\frac{{h^2}}{{2}}}$$.

4. 1. Beweise: Für alle natürlichen Zahlen ist n³ + 5n durch 6 teilbar.
   2. n⁵ - n ist für alle n durch 5 teilbar.
   3. n⁷ - n ist für alle n durch 7 teilbar.
   4. n⁷ - n ist für alle n durch 42 teilbar.
5. Zeige: Für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ und für alle a $\neq$ 1 $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ gilt:
   1 + a + a² + a³ + a⁴...+ aⁿ = $${\frac{{a^{n+1}-1}}{{(a-1)}}}$$.

6. 1. Es gibt eine ganzrationale Funktion 2-ten Grades, die folgende Bedingung erfüllt. f (X) + X + 1 = f (X + 1). Leiten Sie daraus die Gaußsche Summenformel her.
   2. Es gibt eine ganzrationale Funktion 3-ten Grades, mit: f (x) + (X + 1)² = f (X + 1). Leiten Sie daraus eine Summenformel für die Summe der ersten n-Quadratzahlen her.
   3. Es gibt eine ganzrationale Funktion 4-ten Grades mit f (X) + (X + 1)³ = f (X + 1). Summenformel für die ersten n Qubikzahlen.
   4. Es gibt eine ganzrationale Funktion n + 1-ten Grades mit: f (x) + (X + 1)ⁿ = f (x + 1). Summenformel für die n-ten Potenzen!