"Kein Feind der Mathematik übertrete diese Schwelle!"

Andreas Bartholomé pensionierter Schulmeister zu Landshut
Meine Adresse ist:

Auf dieser Seite stelle ich in unregelmäßigen Abständen ein paar Dinge zusammen, mit denen ich mich beschäftige.
Übrigens ist der Bischofsstab neben der Überschrift der Stab des heiligen Abtes Pythagoras (580 bis 500 vor Christus) er wurde von mir in einer Ausgrabung, die viel Aufsehen erregt hat, in Metapont Süditalien gesichert.

Mathematik

Lösungen zur "Zahlentheorie für Einsteiger"

Zusammen mit Herrn Josef Rung und Herrn Hans Kern habe ich vor einiger Zeit ein Büchlein "Zahlentheorie für Einsteiger" geschrieben. Mehrfach wurden wir darum gebeten, Lösungen zu den zahlreichen Aufgaben zu veröffentlichen. Da viel dagegen spricht Lösungen in einen Anhang an das Buch anzubinden, haben wir bisher darauf verzichtet. Andererseits möchten gerade aufmerksame Leser doch manchmal eine Rückmeldung oder Kontrolle ihrer Überlegungen haben. Deswegen haben wir uns entschlossen via Internet (bruchstückhaft) manche Lösungen zu veröffentlichen. Vielleicht können auch die Leser manchmal helfen Aufgabe zu bearbeiten oder auch Fragen stellen. Die Autoren freuen sich über jeder Rückmeldung.

• Zum Lesen Online: Lösungen. Auch manche Ergänzungen zum Text sind hier zu finden. Bei dieser Html Version stimmen leider die Aufgabennummern nicht überein mit den Aufgabennummern des Büchleins. Zum Arbeiten ist die PDF Version besser zu brauchen.

• Als PDF File: Lösungen

Inzwischen ist die 7. Auflage des Büchleins erschienen. Dort habe ich ziemlich viel geändert.

• Leider haben sich dadurch auch einige neue Fehler eingeschlichen. Die gröbsten Fehler möchte ich in einer Datei verbessern. Eine Liste der bisher entdeckten Fehler: Fehler

Plädoyer Für Zahlentheorie an der Schule

Ich möchte an dieser Stelle für Zahlentheorie an der Schule werben. Die Göttinen Geometria und Arithmetica sind viel hübscher als die Zufallsgöttinnen, die Parzen. Geometrie und Zahlentheorie haben einen riesigen Vorteil. Man kann einfache aber nicht triviale Fragen stellen. Der Einfallsreichtum und die Zähigkeit von Generationen von Mathematikern reicht nicht aus die Fragen vollständig zu beantworten. Das Problem der Motivation verflüchtigt sich. Man braucht keine Pseudoanwendungen, die öden eingekleideten Aufgaben, wie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Jede spannende Frage motiviert sich selber. So sind die Zahlentheorie und die Geometrie auch die ältesten Zweige der Mathematik. Schon auf babylonischen Keilschrifttafeln wird nach pythagoräischen Zahlentrippeln gesucht. Babylonische Schulmeister schrieben für die Kinder Aufgaben über rechtwinklige Dreiecke auf, die "aufgehen" mussten. Dies geschah lange vor Pythagoras. An Zahlentheorie und Geometrie kann man am besten lernen, wie mathematisches Nachdenken funktioniert. Deswegen vertritt John Stillwell die Auffassung "...number theory ist the best basis for mathematical education ..".

• Zahlentheorie ist interessant auf jedem Nieveau. Jede Aufgabe ist mit einer kleinen Frage nach Wahrheit verbunden. Es gibt kaum wertlose rein formale Aufgaben, die der Schrecken vieler kluger Menschen sind.

• Zahlentheorie ist fähig zur unbegrenzten Entwicklung. Verfolgt man einfachste Fragen weiter, so werden sie beliebig schwer und tief. Fast jeder Weg führt in unbekannte Landschaften.

• Zahlentheorie ist eng verbunden mit allen Teilen der Mathematik.

• In der Zahlentheorie lernt man auch wie wichtig Erfahrung zur Beantwortung von Fragen ist. Ohne systematisches Probieren gibt es selten Fortschritte. Nur ein paar Beispiel:

  • Welche Zahlen sind die Differenz zweier Quadratzahlen?

  • Welche Zahlen sind die Summe von Quadratzahlen?

  • Im Buch sind viele weitere solche Fragen gestellt

  In all diesen Fällen wird man Listen erstellen, vermuten und schließlich versuchen die Vermutung zu beweisen. Oder wenn dies nicht gelingt die Vermutung zu widerlegen. Kaum in einem anderen Teilgebiet sieht man so deutlich, dass Mathematik etwas Lebendiges ist.

Zur vollständigen Induktion

Die Schrift von Richard Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen" war der Anlass zu den folgenden Gedanken zur vollständigen Induktion. Dedekind zeigt wie eng die vollständige Induktion mit dem Begriff des Abschlusses zusammenhängt. Er klärt zum ersten Mal, was eine unendliche Menge ist. Aus einer solchen Menge ließ er, die uns vertrauten natürlichen Zahlen "als freie Schöpfungen menschlichen Geistes" entstehen. Ich habe am 8.ten März 2005 in Neresheim einen Vortrag zum Thema "Am Anfang war eine unendliche Menge gehalten". Der Anlass war die 4. Sitzung des Schulsets Gymnasium des "Sinus-Transfer-Programms".

• Zum Lesen Online: Am Anfang war eine unendliche Menge

• Als PDF File: Am Anfang war eine unendliche Menge

Pentagramm, Fibonacci und Muster

Es gibt Bilder und Figuren, die stets zum Nachdenken anregten. Dazu gehört seit mindestens 3000 Jahren das reguläre Fünfeck. Hippasos aus Metapont hatte von seinem Meister gelernt: "Alles ist Zahl". Das heißt Verhältnis natürlicher Zahlen. Am Geheimzeichen des Ordens entdeckte er: Der göttliche Meister hat Unrecht. Es gibt Größen, die zueinander inkommensurabel sind. Dies war eine Revolution. Revolutionäre mussten schon immer bestraft werden. So ertränkte Poseidon den vorwitzigen Hippasos. Immer wieder im Laufe der Geschichte war dann das reguläre Fünfeck Ausgangspunkt mathematischer Überlegungen. Es hängt mit vielen anderen Dingen zusammen. Mit den Fibonaccizahlen, Kettenbrüchen, Quasikristallen... In einer Fortbildungsveranstaltung für Lehrer von Prof. Jost H. Eschenburg in Zürich ging es um Quasikristalle, Penrosepflasterungen. Ich habe dazu die elementaren Dinge beigetragen. Meine Überlegungen (nicht originell) sind in einer Arbeit "Rund ums Fünfeck" zusammengestellt.

• Zum Lesen Online: Rund ums Fünfeck

• Als PostScript File: Rund ums Fünfeck

Entdeckungen am goldenen Dreieck

Am 4.11.2008 haben Herr Professor Josef Dorfmeister Herr Bichler und ich im Kerschensteiner Kolleg eine Fortbildung zu diesem Thema gehalten. Eine ausgearbeitete Version meines Anteils daran kann heruntergeladen werden. In der Fortbildung selbst wurde nur ein winziger Teil des Skriptes behandelt. Entdeckungen am goldenen Dreieck

Geschichte

Bernhard von Clairvaux.

Im Jahre 1990 hielt ich einen Vortrag über den seltsamen Heiligen Bernhard von Clairvaux. Vielleicht ist er mit seiner asketischen Frömmelei einer der erfolgreichsten Kämpfer gegen jede Aufklärung in der Kirche. Schiller sagt von ihm:
"es möchte schwer sein, in der Geschichte einen zweiten so weltklugen geistlichen Schuft aufzutreiben, der zugleich in einem vortrefflichen Elemente sich befände, um eine würdige Rolle zu spielen. Er war das Orakel seiner Zeit und beherrschte sie, obgleich und eben darum, weil er bloß ein Privatmann blieb und andere auf dem ersten Posten stehen ließ. Päpste waren seine Schüler und Könige seine Kreaturen. Er haßte und unterdrückte nach Vermögen alles Strebende und beförderte die dickste Mönchsdummheit, auch war er selbst nur ein Mönchskopf und besaß nichts als Klugheit und Heuchelei"
Im Dezember 2009 hat mein Bruder Thomas mich dazu bewegt den Vortrag zu überarbeiten. Die neueste Fassung des Vortrages kann

• heruntergeladen werden: Bernhard von Clairvaux

• Online gelesen werden: Bernhard von Clairvaux

Eine wunderbare Internetseite zu Abaelard und Heloise ist von :Dr. Werner Robl

Bemerkungen zum deutschen Bidungssystem.

Am Ende des Jahres 2001 wurden die Ergebnisse der Bildungsuntersuchung Pisa veröffentlicht. Es stellte sich heraus, dass deutsche Schüler nur sehr mittelmäßig lesen, schreiben und rechnen können. Seitdem stehen in der Presse immer wieder Artikel mit den verschiedensten Reformvorschlägen unseres Bildungswesens.

• Die Lehrerausbildung soll verbessert werden. Mehr Didaktik, wo gerade die Didaktik ihre Unfähigkeit bewiesen hat?

• Die Lehrer sollen mehr motivieren.

• Die Lehrer sollen nach Leistung bezahlt werden. Wer soll diese Leistung beurteilen. Etwa die Direktoren, die damit maßlos überfordert sind?

• Die Beurteilung der Lehrer soll intensiviert werden.

• Die Schmuseschule die Spaßschule muss abgeschafft werden.

• Es soll wieder mehr Leistung verlangt werden. Diese Forderung kommt besonders von der Wirtschaft, deren Leistung insbesondere der Manager äußerste zweifelhaft ist. Diese Forderung sollte also zunächst einmal auf etwa einen Herrn Lederer angewendet werden. Es ist sehr fraglich, ob dann sein Gehalt so groß wäre.

• Die Schule soll mehr und intensiver die modernen Medien verwenden.

Mir scheint: Alle diese Vorschläge lenken von der eigentlich notwendigen Reform ab. Den Kindern muss wieder Gelegenheit zum konzentrierten arbeiten gegeben werden. Diese wird ihnen zur Zeit systematisch genommen. Ich werde diese These begründen. Aber zunächst:

Zwei gleich wichtige Aufgaben hat die Schule.

1. Den jungen Leuten eine Ausbildung mitzugeben, die sie befähigt sich in der Welt von heute zurechtzufinden und über sie nachzudenken.

2. Eine Gesellschaft mit vielen kulturellen, religiösen und sprachlichen Wurzeln kann nur dann human bleiben, wenn die verschiedenen Gruppen sich gegenseitig tolerieren, verstehen und achten. Dies ist nur möglich, wenn alle Kinder einen gemeinsamen kulturellen Hintergrund mitbekommen, der Grundlage für die Verständigung untereinander ist. Schule hat daher eine wichtige Integrationsaufgabe. Niemals darf sie ihre Hauptaufgabe in der Auslese sehen.

Dies Ziele kann man, trotz dem Ruf von Herrn Ministerpräsident Koch nach Abschaffung der Schmuseschulen, nur in einer freundlichen und freudigen Arbeitsatmosphäre erreichen. Schon bei Karl May steht: Das Pferd Winnetous lief, wenn es das Zauberwort hörte bis an die Grenzen seiner Möglichkeiten. Druck und Zwang erreichen wesentlich weniger. Wer jemals einen jungen Hund erzogen hat, weiß das. Für Lehrer und Schüler muss die Sache, nicht das Urteil im Zentrum stehen.
Ich behaupte:

Die Erfahrung, dass intensive und konzentrierte Arbeit Freude macht, wird den Kindern systematisch vorenthalten.

Dies liegt schon allein an Fülle der Fächer (wohlgemerkt nicht an der Fülle des Stoffes). Wenn man etwa 6 verschiedene Fächer an einem Tag hat, so kann man sich nicht für alle interessieren. Hat man beispielsweise ein Fach nur einmal pro Woche und bekommt darin sogar noch eine Note, dann ist das eine Zumutung für Lehrer und Schüler. Ähnliches gilt für zweistündige Fächer. In allen diesen Fächern mit wenigen Wochenstunden hat die Note ein unverhältnismäßiges Gewicht gegenüber dem Lerninhalt. Schließlich lernt der Schüler nur noch um eine Note zu erhalten. Kaum ist die Ex oder die Schulaufgabe geschrieben, so wird der Stoff aus reiner Hirnhygiene systematisch vergessen. Er soll nicht unser Hirnstübchen belasten. Er wird vergessen, so wie man auf seinem Schreibtisch überflüssige Zettel wegwirft. Da keine innere Beziehung zu dem Stoff aufgebaut wurde,ist dies auch die einzig vernünftige Haltung. Denn was man nicht mit Herz tut, sollte man besser überhaupt nicht tun. Welche Konsequenzen sind zu ziehen? Man muss sich wieder überlegen was wirklich notwendig ist. Jedes Fach, welches unterrichtet wird, sollte mindestens 4 Wochenstunden haben. Beispiele:

• Was spricht eigentlich dagegen den Geschichtsunterricht in den unteren Klassen abzuschaffen. Gleichzeitig den Sprachunterricht zu intensivieren mit der Aufgabe auch geschichtliche Themen zu behandeln.

• Genauso der Biologie, Physik, und Erdkunde Unterricht. In Unterstufe reicht es wenn man etwa ein Fach Naturkunde hat bei einem Lehrer. In diesem Fach Naturkunde werden die Dinge behandelt, die vorher von drei Lehrern behandelt wurden.

Die Vorteile sind nicht zu übersehen:

• Der Lehrer hat Zeit die Schüler kennenzulernen.

• Es gibt nur noch eine Note, wo es vorher eventuell drei gab. Die Note erhält gegenüber dem Stoff ein wesentlich geringeres Gewicht.

• Die Anzahl der Schüler pro Lehrer sinkt, obwohl beispielsweise die Klassenstärken nicht sinken. Die Belastung der Lehrer und der Schüler durch die Notengebung sinkt. Er kann sich wesentlich mehr dem einzelnen Schüler widmen. Es kann zwischen Schüler und Lehrer ein persönliches Verhältnis entstehen. Nur so ist ein dauerhafter Lernerfolg möglich.

• Der Krampf, das man einen fächerübergreifenden Unterricht halten soll erübrigt sich, weil das Fach an sich schon nicht so eng ist.

Die Einführung eines neuen Faches Informatik in Bayern ist hier geradezu kontraproduktiv. Warum wird der Mathematikunterricht nicht intensiviert mit der Aufgabe auch zu behandeln, wie man algorithmische Fragen mit dem Computer angeht. Hierzu habe ich eine Stellungnahme an das bayrische Kultusministerium geschrieben und nach einem halben Jahr, nach mehrmaligem Nachfragen erst eine Antwort erhalten. Diese Antwort hatte fast nichts mit meinen Argumenten zu tun. Dies ist übrigens ein Zeichen dafür, dass wichtiges einfach nicht diskutiert wird. Man redet einfach an der Kritik vorbei.

Wichtig dabei war mir, dass nur freie Software verwendet wurde. Inzwischen verwende ich fast nur noch Lisp oder Scheme. Ich habe diese Sprachen leider erst sehr spät kennengelernt. Sie sind genauso wie ein Mathematiker sich eine Programmiersprache wünscht. Vielleicht Scheme noch mehr als Lisp. Da aber der emacs Editor inzwischen für mich der Editor schlechthin ist, und er in Lisp geschrieben ist, verwende ich für meine Kurse emacs Lisp. Dort gibt es auch eine ausgeklügelte online Hilfe. Daher wird zur Zeit nur der Teil über emacs Lisp gepflegt.

Analysis in der elften Klasse

Der wichtigste Begriff der elften Klasse ist die Konvergenz. Meiner unmaßgeblichen Meinung nach kann man diesen Begriff am besten an Folgen verstehen. Sie haben den engsten Bezug zum tatsächlichen Rechnen. Jedes Coputerprogramm ist richtig verstanden nichts anderes als eine Folge. Daher habe ich in meinem Lehrgang zuerst die Konvergenz von Folgen betrachtet. Darauf werden alle weiteren Begriffe aufgebaut. Ein skript kann betrachtet werden.

Geometrie in der Mittelstufe

Seit dem Beginn meines Lehrerdaseins vertrete ich den Standpunkt, dass die Kongruenzgeometrie an den Anfang des Unterrichtes gehört. Zuerst sollen die Kinder Figuren kennenlernen und über sie nachdenken. Erst dann sind die Abbildungen zwischen den Figuren bedeutungsvoll. Andererseits soll durchaus schon etwas bewiesen werden in dieser Altersstufe. Man sollte die Kinder nicht unterfordern. In diesem Alter erwacht bei vielen Kindern lebhaftes Interesse an Logik. Es gehört zu den großen Erlebnissen, welche die Mathematik vermitteln kann: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180 Grad. Nicht weil es der Lehrer sagt. Die Natur der Dreiecke erzwingt es notwendig. Deswegen kann ich mich kaum an ein Schulbuch halten. Daher ist im Laufe der Jahre ein Skript entstanden. Es kann online gelesen werden und im pdf Format heruntergeladen werden.

• Skript zur Geometrie zum Online lesen

• Skript zur Geometrie im PDF Format

Eine kleine Verweissammlung

ARD Tagesschau Nachrichten
Heise Newsticker Computer-Nachrichten
Yahoo Nachrichtenticker Nachrichten
OneWorld News Nachrichten (en)
Spiegel
Häuschen in Daun
Unterweisung von Dürer
Französische Bücher und Zeitschriften

Zum Projekt Perspektive

• Schrift von Alberti
  
• Unterweisung der Messung von Dürer
  
• Geometrische Instrumente
• Giovanni Antonio Canaletto hat sehr viele Veduten - Ansichten - von Venedig gemalt. Er benutzte dazu die Lochkamera. Die Wikipediadresse dazu ist:
  Giovanni Antonio Canaletto
• Im deutschen Museum gibt es viel über den Architekten und Zeichner Piranesi. Piranesi
• Der Maler Tomaso da Modena hat um 1350 Fresken in Treviso gemalt man sieht da Bemühen um einen räumlichen Eindruck. Er weiß aber noch nicht ob er ein Schrägbild oder etwas anderes malen soll. Offensichlich ist es auch kein reiner Zufall. Denn Tomaso wr an Optik interessiert. In seinen Bildern kommt zum ersten Mal eine Brille vor. Auch benutzt einer seiner Dominikanermönche in dem von ihm ausgemalten Kloster San Nicolo in Treviso eine Lupe
  
• Ein interessantes Bild zum Fluchtpunkt habe ich hier gefunden:

Zur Priesterweihe der Frauen:

• Bischof Oster zur Ordination von Frauen: Sein Haupargument scheint zu sein: Christus war ein Mann. Maria ist das Urbild der Kirche. Die Kirche ist also weiblich. Christus ist Bräutigam der Kirche. Der Priester isr Stellvertreter Christi. Also ist der Priester ein Bräutigam. Als Bräutigam kann der Priester nicht weiblich sein.
  Meine Ansicht hierzu:
  Bräutigam und Braut ist eines der vielen Bilder die Christus im neuen Testament braucht, um die Beziehung zwischen seiner Person und seinen Anhängern*Innen zu beschreiben. Damit meint er sicher nicht Sexualverkehr. Er meint einfach die Liebe, mit der er seine Jünger*Innen liebt. An anderer Stelle spricht er von Weinstock und den Reben. Bilder haben die Funktion auf einen bestimmten Aspekt hinzuweisen. Sie zeigen auf einen Sachverhalt. Wie das bei Zeigern so ist, ganz genau, auf dem Millimeter genau, weiß man nicht, worauf sie zeigen. Bilder werden falsch, wenn sie in allen Belangen wörtlich genommen werden. Es sind Piktogramme. Kein Mensch wird auf die Idee kommen das Ampelmännchen in allen Aspekten als Darstellung des Menschen zu nehmen. Macht man dies von einem Gottesbild so führt dies zur heidnischen Bilderverehrung. Zu Recht wurde dagegen protestiert. Gott lässt sich nicht in ein Bild einfangen. (Hierhin gehört die Sentenz von Xenophanes über Gottesbilder) Bei einer sehr naiven Auffassung der Mutter Gottes wird das Bild als solches verehrt. So etwa wenn das Bambino von Ara coeli oder von Prag zu den Kranken transportiert wird. Dies ist aber sicher Irrlehre. Auch wenn diese Irrlehre selten aktiv bekämpft wird. Wie gesagt Christus braucht auch das Bild vom Weinstock und den Reben. Sind deswegen nur Weinstöcke als Priester zulässig und Reben als Kirchenmitglieder. Dies alles ist lächerlich.
• Ein Argument, welches in der Geschichte oft als Argument verwendet wurde: Durch Eva kam die Sünde in die Welt. Sie war der erste Mensch, der verführt wurde. Also können ihre Nachkommen nicht Stellvertreter des Erlösers sein. Dies ist eine Kette von Argument, die auch heute noch gebraucht wird. So habe ich sie in einer Predigt im Mai in St. Martin gehört. Im alten Testament heißt es (Genesis 3. Kapitel): Die Schlange aber arglistiger als alle anderen Tiere des Feldes, die Gott der Herr gebildet hatte. Sie sprach zum Weibe. "Hat Gott wirklich gesagt: 'Ihr dürft von keinem Baum des Gartens essen?'. Da sprach das Weib zur Schlange: 'Von den Früchten der Gartenbäume dürfen wir essen, nur von den Früchten des Baumes in der Mitte des Gartens hat Gott gesagt: '

  

  
  
• Adam und Eva in anderen Quellen. Im Jahre 2014 haben zwei holländische Thoelogen Marjo C.A. Korpel und Johannes de Moor von der Protestantisch-Theologischen Fakultät in Amsterdam Keilschrifttafeln aus der ugarithischen Sprache übersetzt. Sie belegen scheinbar, dass es den Mythos von Adam und Eva schon viel länger und in einer etwas anderen Form gibt, als in der Bibel niedergeschrieben. Das heisst nicht nur die Noa Geschichte ist im wesentlichen ein Plagiat auch die Geschichte von Adam und Eva. Das hat Konsequenzen für die Ordination von Frauen. Nicht nur ist Eva nicht schuld an dem Sündenfall. In dieser Variante ist nur der böse Geist oder Gott Horon.

Zuletzt geändert am 7. Juli 2019