Muster "Kein Feind der Mathematik übertrete diese Schwelle!"


Andreas Bartholomé pensionierter Schulmeister zu Landshut
Meine Adresse ist:

Andreas Bartholomé
Schirmgasse 275
84028 Landshut

Auf dieser Seite stelle ich in unregelmäßigen Abständen ein paar Dinge zusammen, mit denen ich mich beschäftige.
Übrigens ist der Bischofsstab neben der Überschrift der Stab des heiligen Abtes Pythagoras (580 bis 500 vor Christus) er wurde von mir in einer Ausgrabung, die viel Aufsehen erregt hat, in Metapont Süditalien gesichert.


Mathematik

Lösungen zur "Zahlentheorie für Einsteiger"

Zusammen mit Herrn Josef Rung und Herrn Hans Kern habe ich vor einiger Zeit ein Büchlein "Zahlentheorie für Einsteiger" geschrieben. Mehrfach wurden wir darum gebeten, Lösungen zu den zahlreichen Aufgaben zu veröffentlichen. Da viel dagegen spricht Lösungen in einen Anhang an das Buch anzubinden, haben wir bisher darauf verzichtet. Andererseits möchten gerade aufmerksame Leser doch manchmal eine Rückmeldung oder Kontrolle ihrer Überlegungen haben. Deswegen haben wir uns entschlossen via Internet (bruchstückhaft) manche Lösungen zu veröffentlichen. Vielleicht können auch die Leser manchmal helfen Aufgabe zu bearbeiten oder auch Fragen stellen. Die Autoren freuen sich über jeder Rückmeldung.

Inzwischen ist die 6. Auflage des Büchleins erschienen. Dort habe ich ziemlich viel geändert.

Plädoyer Für Zahlentheorie an der Schule

Ich möchte an dieser Stelle für Zahlentheorie an der Schule werben. Die Göttinen Geometria und Arithmetica sind viel hübscher als die Zufallsgöttinnen, die Parzen. Geometrie und Zahlentheorie haben einen riesigen Vorteil. Man kann einfache aber nicht triviale Fragen stellen. Der Einfallsreichtum und die Zähigkeit von Generationen von Mathematikern reicht nicht aus die Fragen vollständig zu beantworten. Das Problem der Motivation verflüchtigt sich. Man braucht keine Pseudoanwendungen, die öden eingekleideten Aufgaben, wie in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Jede spannende Frage motiviert sich selber. So sind die Zahlentheorie und die Geometrie auch die ältesten Zweige der Mathematik. Schon auf babylonischen Keilschrifttafeln ist wird nach pythagoräischen Zahlentrippeln gesucht. Babylonische Schulmeister schrieben für die Kinder Aufgaben über rechtwinklige Dreiecke auf, die "aufgehen" mussten. Dies geschah lange vor Pythagoras. An Zahlentheorie und Geometrie kann man am besten lernen, wie mathematisches Nachdenken funktioniert. Deswegen vertritt John Stillwell die Auffassung "...number theory ist the best basis for mathematical education ..".


Zur vollständigen Induktion

Muster Die Schrift von Richard Dedekind "Was sind und was sollen die Zahlen" war der Anlass zu den folgenden Gedanken zur vollständigen Induktion. Dedekind zeigt wie eng die vollständige Induktion mit dem Begriff des Abschlusses zusammenhängt. Er klärt zum ersten Mal, was eine unendliche Menge ist. Aus einer solchen Menge ließ er, die uns vertrauten natürlichen Zahlen "als freie Schöpfungen menschlichen Geistes" entstehen. Ich habe am 8.ten März 2005 in Neresheim einen Vortrag zum Thema "Am Anfang war eine unendliche Menge gehalten". Der Anlass war die 4. Sitzung des Schulsets Gymnasium des "Sinus-Transfer-Programms".


Pentagramm, Fibonacci und Muster


Es gibt Bilder und Figuren, die stets zum Nachdenken anregten. Dazu gehört seit mindestens 3000 Jahren das reguläre Fünfeck. Hippasos aus Metapont hatte von seinem Meister gelernt: "Alles ist Zahl". Das heißt Verhältnis natürlicher Zahlen. Am Geheimzeichen des Ordens entdeckte er: Der göttliche Meister hat Unrecht. Es gibt Größen, die zueinander inkommensurabel sind. Dies war eine Revolution. Revolutionäre mussten schon immer bestraft werden. So ertränkte Poseidon den vorwitzigen Hippasos. Immer wieder im Laufe der Geschichte war dann das reguläre Fünfeck Ausgangspunkt mathematischer Überlegungen. Es hängt mit vielen anderen Dingen zusammen. Mit den Fibonaccizahlen, Kettenbrüchen, Quasikristallen... In einer Fortbildungsveranstaltung für Lehrer von Prof. Jost H. Eschenburg in Zürich ging es um Quasikristalle, Penrosepflasterungen. Ich habe dazu die elementaren Dinge beigetragen. Meine Überlegungen (nicht originell) sind in einer Arbeit "Rund ums Fünfeck" zusammengestellt.


Entdeckungen am goldenen Dreieck


Am 4.11.2008 haben Herr Professor Josef Dorfmeister Herr Bichler und ich im Kerschensteiner Kolleg eine Fortbildung zu diesem Thema gehalten. Eine ausgearbeitete Version meines Anteils daran kann heruntergeladen werden. In der Fortbildung selbst wurde nur ein winziger Teil des Skriptes behandelt. Entdeckungen am goldenen Dreieck


Geschichte

Bernhard von Clairvaux.


Im Jahre 1990 hielt ich einen Vortrag über den seltsamen Heiligen Bernhard von Clairvaux. Vielleicht ist er mit seiner asketischen Frömmelei einer der erfolgreichsten Kämpfer gegen jede Aufklärung in der Kirche. Schiller sagt von ihm:
"es möchte schwer sein, in der Geschichte einen zweiten so weltklugen geistlichen Schuft aufzutreiben, der zugleich in einem vortrefflichen Elemente sich befände, um eine würdige Rolle zu spielen. Er war das Orakel seiner Zeit und beherrschte sie, obgleich und eben darum, weil er bloß ein Privatmann blieb und andere auf dem ersten Posten stehen ließ. Päpste waren seine Schüler und Könige seine Kreaturen. Er haßte und unterdrückte nach Vermögen alles Strebende und beförderte die dickste Mönchsdummheit, auch war er selbst nur ein Mönchskopf und besaß nichts als Klugheit und Heuchelei"
Im Dezember 2009 hat mein Bruder Thomas mich dazu bewegt den Vortrag zu überarbeiten. Die neueste Fassung des Vortrages kann

Eine wunderbare Internetseite zu Abaelard und Heloise ist von :Dr. Werner Robl

Bemerkungen zum deutschen Bidungssystem.


Am Ende des Jahres 2001 wurden die Ergebnisse der Bildungsuntersuchung Pisa veröffentlicht. Es stellte sich heraus, dass deutsche Schüler nur sehr mittelmäßig lesen, schreiben und rechnen können. Seitdem stehen in der Presse immer wieder Artikel mit den verschiedensten Reformvorschlägen unseres Bildungswesens.

Mir scheint: Alle diese Vorschläge lenken von der eigentlich notwendigen Reform ab. Den Kindern muss wieder Gelegenheit zum konzentrierten arbeiten gegeben werden. Diese wird ihnen zur Zeit systematisch genommen. Ich werde diese These begründen. Aber zunächst:

Zwei gleich wichtige Aufgaben hat die Schule.
  1. Den jungen Leuten eine Ausbildung mitzugeben, die sie befähigt sich in der Welt von heute zurechtzufinden und über sie nachzudenken.

  2. Eine Gesellschaft mit vielen kulturellen, religiösen und sprachlichen Wurzeln kann nur dann human bleiben, wenn die verschiedenen Gruppen sich gegenseitig tolerieren, verstehen und achten. Dies ist nur möglich, wenn alle Kinder einen gemeinsamen kulturellen Hintergrund mitbekommen, der Grundlage für die Verständigung untereinander ist. Schule hat daher eine wichtige Integrationsaufgabe. Niemals darf sie ihre Hauptaufgabe in der Auslese sehen.

Dies Ziele kann man, trotz dem Ruf von Herrn Ministerpräsident Koch nach Abschaffung der Schmuseschulen, nur in einer freundlichen und freudigen Arbeitsatmosphäre erreichen. Schon bei Karl May steht: Das Pferd Winnetous lief, wenn es das Zauberwort hörte bis an die Grenzen seiner Möglichkeiten. Druck und Zwang erreichen wesentlich weniger. Wer jemals einen jungen Hund erzogen hat, weiß das. Für Lehrer und Schüler muss die Sache, nicht das Urteil im Zentrum stehen.
Ich behaupte:

Die Erfahrung, dass intensive und konzentrierte Arbeit Freude macht, wird den Kindern systematisch vorenthalten.

Dies liegt schon allein an Fülle der Fächer (wohlgemerkt nicht an der Fülle des Stoffes). Wenn man etwa 6 verschiedene Fächer an einem Tag hat, so kann man sich nicht für alle interessieren. Hat man beispielsweise ein Fach nur einmal pro Woche und bekommt darin sogar noch eine Note, dann ist das eine Zumutung für Lehrer und Schüler. Ähnliches gilt für zweistündige Fächer. In allen diesen Fächern mit wenigen Wochenstunden hat die Note ein unverhältnismäßiges Gewicht gegenüber dem Lerninhalt. Schließlich lernt der Schüler nur noch um eine Note zu erhalten. Kaum ist die Ex oder die Schulaufgabe geschrieben, so wird der Stoff aus reiner Hirnhygiene systematisch vergessen. Er soll nicht unser Hirnstübchen belasten. Er wird vergessen, so wie man auf seinem Schreibtisch überflüssige Zettel wegwirft. Da keine innere Beziehung zu dem Stoff aufgebaut wurde,ist dies auch die einzig vernünftige Haltung. Denn was man nicht mit Herz tut, sollte man besser überhaupt nicht tun. Welche Konsequenzen sind zu ziehen? Man muss sich wieder überlegen was wirklich notwendig ist. Jedes Fach, welches unterrichtet wird, sollte mindestens 4 Wochenstunden haben. Beispiele:

Die Vorteile sind nicht zu übersehen:

Die Einführung eines neuen Faches Informatik in Bayern ist hier geradezu kontraproduktiv. Warum wird der Mathematikunterricht nicht intensiviert mit der Aufgabe auch zu behandeln, wie man algorithmische Fragen mit dem Computer angeht. Hierzu habe ich eine Stellungnahme an das bayrische Kultusministerium geschrieben und nach einem halben Jahr, nach mehrmaligem Nachfragen erst eine Antwort erhalten. Diese Antwort hatte fast nichts mit meinen Argumenten zu tun. Dies ist übrigens ein Zeichen dafür, dass wichtiges einfach nicht diskutiert wird. Man redet einfach an der Kritik vorbei.

Wichtig dabei war mir, dass nur freie Software verwendet wurde. Inzwischen verwende ich fast nur noch Lisp oder Scheme. Ich habe diese Sprachen leider erst sehr spät kennengelernt. Sie sind genauso wie ein Mathematiker sich eine Programmiersprache wünscht. Vielleicht Scheme noch mehr als Lisp. Da aber der emacs Editor inzwischen für mich der Editor schlechthin ist, und er in Lisp geschrieben ist, verwende ich für meine Kurse emacs Lisp. Dort gibt es auch eine ausgeklügelte online Hilfe. Daher wird zur Zeit nur der Teil über emacs Lisp gepflegt.


Analysis in der elften Klasse


Der wichtigste Begriff der elften Klasse ist die Konvergenz. Meiner unmaßgeblichen Meinung nach kann man diesen Begriff am besten an Folgen verstehen. Sie haben den engsten Bezug zum tatsächlichen Rechnen. Jedes Coputerprogramm ist richtig verstanden nichts anderes als eine Folge. Daher habe ich in meinem Lehrgang zuerst die Konvergenz von Folgen betrachtet. Darauf werden alle weiteren Begriffe aufgebaut. Ein skript kann betrachtet werden.


Geometrie in der Mittelstufe


Seit dem Beginn meines Lehrerdaseins vertrete ich den Standpunkt, dass die Kongruenzgeometrie an den Anfang des Unterrichtes gehört. Zuerst sollen die Kinder Figuren kennenlernen und über sie nachdenken. Erst dann sind die Abbildungen zwischen den Figuren bedeutungsvoll. Andererseits soll durchaus schon etwas bewiesen werden in dieser Altersstufe. Man sollte die Kinder nicht unterfordern. In diesem Alter erwacht bei vielen Kindern lebhaftes Interesse an Logik. Es gehört zu den großen Erlebnissen, welche die Mathematik vermitteln kann: Die Winkelsumme im Dreieck ist 180 Grad. Nicht weil es der Lehrer sagt. Die Natur der Dreiecke erzwingt es notwendig. Deswegen kann ich mich kaum an ein Schulbuch halten. Daher ist im Laufe der Jahre ein Skript entstanden. Es kann online gelesen werden und im pdf Format heruntergeladen werden.


Eine kleine Verweissammlung

ARD Tagesschau Nachrichten
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OneWorld News Nachrichten (en)
Spiegel
Häuschen in Daun
Fotos von Rom

Zuletzt geändert am 14. Mai 2014