Gruppenhomomorphismen

$\begin{definition} Eine Abbildung $f:G\rightarrow H$\ heißt Gruppenhomomorphis... ...\in G\}$\ heißt Kern von $f$.\index{Kern!eines Homomorphismus} \end{definition}$

$\begin{satz} Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. \end{satz}$

$\begin{Beweis} Sind $f:G\rightarrow H$\ und $g:H\rightarrow N$\ zwei Homomorphi... ...)\circ f(b))=gf(a)\circ gf(b)$. Also ist $gf$\ ein Homomorphismus. \end{Beweis}$

$\begin{satz} Ist $f:G\rightarrow H$\ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt: \begi... ...n Eigenschaft: Für alle $x\in G$\ gilt $xNx^{-1}=N$. \end{enumerate}\end{satz}$

$\begin{Beweis} % latex2html id marker 3227Zu \ref{Gruppe:neutralelement}: $f(... ...x\circ a\circ a^{-1})= f(x)\circ e_{H}\circ f^{-1}(x)=e_{H}.$ \par \end{Beweis}$

$\begin{definition} Eine Untergruppe $U$\ von $G$\ heißt Normalteiler, wenn für ... ... G$ gilt: $xU=Ux$. Das heißt $xUx^{-1}=U$.\index{Normalteiler} \end{definition}$
In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe auch Normalteiler. Ist G eine Gruppe, so kann man auf $\mathfrak{P}(G)$ eine assoziative Verknüpfung erklären. Und zwar: AoB : = {aob| a $\in$ A undb $\in$ B}. Für eine Untergruppe U $\subset$ G gilt dann UoU = U. Ist N ein Normalteiler , so ist für alle x, y $\in$ G: xNoyN = (xN)o(Ny) = x(Ny) = xyN.
$\begin{satz} Ist $N$\ ein Normalteiler in $G$, so wird $G/N:=\{xN\vert x\in G\}... ...urch die folgende Verknüpfung zu einer Gruppe. $(xN)\circ (yN):=xyN$ \end{satz}$

$\begin{Beweis} Zunächst ist die Verknüpfung wohldefiniert. Denn ist $xN=x'N$, s... ...=xx^{-1}N=N$\ und damit hat jedes Element in $G/N$\ sein Inverses. \end{Beweis}$

$\begin{satz} Für eine Untergruppe $N\subset G$\ sind äquivalent: \begin{enumer... ...$N$\ ist ein Normalteiler in $G$.\index{Normalteiler} \end{enumerate}\end{satz}$

$\begin{Beweis} % latex2html id marker 3283\ref{Gruppe:Normalteiler1}\mbox{$\L... ...$. Es ist also auch $N\subset Ke(\pi)$\ und daher $Ke(\pi)=N$. \par \end{Beweis}$

$\begin{definition} Ein Monomorphismus ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus... ...onomorpher und epimorpher Homomorphismus\index{Isomorphismus}. \end{definition}$

$\begin{satz} Für einen Gruppenhomomorphismus $f:G\rightarrow H$\ sind äquivalen... ...h:F\rightarrow G$\ gilt: Ist $fg=fh$, so ist $g=h$. \end{enumerate} \end{satz}$

$\begin{Beweis} % latex2html id marker 3303\ref{Homo:injektiv:1}\mbox{$\Longri... ...r alle $x\in Ke(f)$: $x=\iota(x)=g(x)=e$. Daher ist $Ke(f)=\{e\}$. \end{Beweis}$

Andreas 2006-12-05