1. Grundaufgabe:

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Dreieck, von dem die Seitenlängen a, b, c gegeben sind. Zum Beispiel sei a = 6, 5cm , b = 9cm und c = 7cm.

Der Lösungsgang einer Konstruktion gliedert sich in Zukunft stets in die folgenden Schritte.

1. Planfigur: Es wird ein allgemeines Dreieck gezeichnet, in das die gegebenen Stücke eingetragen werden. Das Dreieck hat keineswegs schon die gewünschten Maße. ,,Allgemein`` bedeutet: Die Planfigur enthält keine Regelmäßigkeiten, von denen in der Aufgabe nicht geredet wird.
2. Analysis: (Plan) Wir tun hier so, als ob wir eine Lösung hätten und untersuchen die gegenseitige Lage der Punkte.
   1. A, B sind Endpunkte der Strecke c.
   2. C $\in$ k(A, b) $\cap$ k(b, a).
3. Konstruktion: Schließlich wird die Konstruktion mit Zirkel und Lineal durchgeführt.

In unserem Fall siehst du bei der Konstruktion, dass die beiden Kreise k(A, b) und k(B, a) zwei Schnittpunkte C und C' haben. Die Dreiecke unterscheiden sich aber in keinem Bestimmungsstück. Insbesondere sind die entsprechenden Winkel gleich groß.

Definition 1.1.1   Zwei Dreiecke $\triangle$ABC und $\triangle$A'B'C' heißen kongruent, wenn a = a', b = b' und c = c' sind. Dreiecke sind also kongruent, wenn die entsprechenden Seiten gleich groß sind. In Zeichen $\triangle$ABC $\cong$ $\triangle$A'B'C'.

Axiom 1..1 (SSS)   Sind die Dreiecke $\triangle$ABC und $\triangle$A'B'C' kongruent, so ist $\alpha$ = $\alpha{^\prime}$ $\beta$ = $\beta{^\prime}$ und $\gamma$ = $\gamma{^\prime}$. In kongruenten Dreiecken sind die entsprechenden Winkel gleich groß.