Aufgaben:

1. Gegeben ist eine Strecke von a = 11 cm. Konstruiere ${\frac{{1}}{{2}}}$a, ${\frac{{3}}{{4}}}$a und ${\frac{{5}}{{8}}}$a.
2. Schneiden sich in jedem Viereck die Mittelsenkrechten auch in einem Punkt? Versuche die Vermutung zu beweisen, oder gib ein Gegenbeispiel an.
3. Konstruiere ein Dreieck samt Umkreisen.
   1. b = 5 cm, c = 6 cm und $\alpha$ = 60⁰.
   2. b = 3 cm, c = 4 cm und $\gamma$ = 120⁰.
   3. a = 4 cm, b = 6cm und $\alpha$ = 90⁰.
   4. b = 4 cm, $\alpha$ = 100⁰ und $\gamma$ = 40⁰.
4. Konstruiere ein Dreieck, von dem die folgenden Stücke gegeben sind. Es ist r stets der Umkreisradius.
   1. c = 6 cm, r = 3.5 cm und $\alpha$ = 72⁰.
   2. b = 3.8 cm, r = 3 cm und $\gamma$ = 110⁰.
   3. a = 3.5 cm, b = 4 cm und r = 3 cm.
   4. c = 4 cm, r = 2, 5 cm und $\alpha$ = 90⁰.
5. Von einem Kreis findet man den Mittelpunkt nicht mehr. Konstruiere den Mittelpunkt.
6. 1. Konstruiere ein Dreieck von dem gegeben sind: b = 12 cm, c = 8, 5 cm und r = 6, 5 cm.
   2. b und c seien wie in Teil a). Wie lang muss r mindestens sein, damit das Dreieck existiert?
7. Die Strecke, welche im Dreieck $\triangle$ABC die Seitenmitte von a mit dem Punkt A verbindet heisst Seitenhalbierende s_a. Entsprechend erklärt man s_b und s_c.
   1. Konstruiere ein Dreieck von dem gegeben sind: s_a = 10 cm, c = 10, 5 cm und a = 6 cm.
   2. Wie lang muss die Seitenhalbierende mindestens sein, damit das Dreieck konstruierbar ist? a und c haben dieselbe Länge wie in Teil a).

Definition 1.3.1   Ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die beiden gleichen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite heißt Basis. Die Winkel an der Basis heißen Basiswinkel.

1. Zeige von einem gleichschenkligen Dreieck:
   1. Die Basiswinkel sind gleich groß.
   2. Die Seitenhalbierende s_c der Seite c ist zugleich die Mittelsenkrechte m_c.
   3. Die Mittelsenkrechte m_c halbiert den Winkel $\gamma$.
2. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck von dem gegeben sind:

   (a) c = 6cm, a = 4 cm (b) a = 5, 5 cm und $\gamma$ = 45⁰.

   (c) c = 4, 5 cm und $\alpha$ = 67, 5⁰. (d) c = 6cm und m_c = 7 cm.

   (e) m_c und die Schenkellänge. Gib dir die Maße dazu selber vor.

3. Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck und verbinde die Seitenmitten. Gibt es kongruente Teildreiecke? Welches Teildreieck ist wieder gleichschenklig.
4. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
   1. Verbinde die Seitenmitten. Warum ist das entstehende Dreieck wieder gleichseitig?
   2. Sei M der Umkreismittelpunkt. Wie groß ist der Winkel $\sphericalangle$AMB? Begründung.
5. Es sind zwei Punkte A, B gegeben.
   1. Du hast nur einen Zirkel. Konstruiere nur mit ihm weitere Punkte von AB.
   2. Du hast nur einen Zirkel fester Öffnung (Bierdeckel). Kann man auch mit ihm weitere Punkte von AB konstruieren?
6. Konstruiere ein Dreieck mit den Seiten a = 6cm, b = 7cm und c = 8cm. Fälle von jedem Eckpunkt aus das Lot auf die gegenüberliegende Seite. Was stellst du fest?
7. Konstruiere folgende Winkel mit Zirkel und Lineal.

   (a) 22, 5⁰ (b) 67, 5⁰ (c) 112, 5⁰ (d) 56, 25⁰

   (e) 225⁰ (f) 157, 5⁰.

8. Konstruiere ein Dreieck aus:
   1. b = 3, 8cm, $\alpha$ = 35⁰ und $\gamma$ = 125⁰.
   2. a = 7cm, $\beta$ = 36⁰ und $\gamma$ = 220⁰.
   3. a = 5, 5cm, $\gamma$ = 52⁰ und $\beta$ = 63⁰.
9. In einem Viereck seien die gegenüberliegenden Seiten gleichlang. Zeige: Die Diagonalen halbieren sich.
10. Ein Viereck, in dem eine Der Diagonalen die beiden gegenüberliegenden Winkel halbiert heißt Drache.
    1. Zeige: In einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
    2. Ist jedes Viereck, dessen Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, ein Drache?