Sind in einem Fünfeck die Seiten gleich lang und die Winkel gleich groß, so
ist es regulär.
Das gleichschenklige Dreieck ABC hat einen Umkreis K(M, r). Die beiden Dreiecke ABM und BCM sind kongruent wegen dem Kongruenzsatz SSS. Also ist MAB = MBC = 720. Daher ist MCD = 720. Dreieck BCM ist somit kongruent zum CDM wegen SWS. Also ist DM = r und D liegt auf dem Kreis K(M, r). |
Die Teilwinkel an jeder Ecke sind alle gleich groß. Also sind sie beim regulären Fünfeck jeweils 360. |
Die Dreiecke D'C'A und BD'A sind gleichschenklig. Daher sind die spitzen Dreiecke des inneren Sterns ( D'C'A die Zacken) alle untereinander kongruent. Genauso sind die stumpfwinkeligen Dreiecke untereinander kongruent. Das innere Fünfeck A'B'C'D'E' ist also auch ein reguläres Fünfeck. |
Auch das
Dreieck
BE'C' ist gleichschenklig, da es gleiche Basiswinkel hat.
Bezeichnen wir mit a0 die
Diagonale des Fünfeckes mit a1 die Seite des Fünfeckes und a2
die Diagonale des inneren Fünfeckes, so ergibt sich:
|
Das innere Fünfeck hat wieder eine Seite a3 und so weiter. Man erhält:
= 1 + 2 | (4) |
Aufgaben:
http://www.geo.de/GEO/wissenschaft_natur/2001_12_GEO_unendlichkeit_denker/
Andreas Bartholome