Das Fünfeck

Die folgende Zeichnung fasst die Ergebnisse nochmal zusammen.

Abbildung 1: Das Fünfeck
\includegraphics{/home/andreas/tex/mathematik/fuenfeck/bilder/fuenfeck1}
Das innere Fünfeck hat wieder eine Seite a3 und so weiter. Man erhält:
a0 = a1 + a2  
a1 = a2 + a3  
$\displaystyle \vdots$ = $\displaystyle \vdots$ (2)

Das kann man so weiter machen. Es ergibt sich:
a0 = 2a2 + a3  
a2 = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ . (a0 - a1)  
a2 < $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ . a0 (3)

Ein gemeinsames Maß e von a0 und a1, ist daher gemeinsames Maß von a0 und a1, a2.... Es ist daher e < ($ {\frac{{1}}{{2}}}$)n . a0 für alle n $ \in$ $ \mbox{$\mathbb{N}$}$. Dies geht nicht. Daher haben Diagonale und Seite im regulären Fünfeck kein gemeinsames Maß. Das $ \triangle$ABE $ \sim$ $ \triangle$AE'C'. Es ist daher $ {\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ = $ {\frac{{a_{1}}}{{a_{2}}}}$. Beachtet man Gleichung 1 so sieht man:

$\displaystyle {\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{{a_{2}}}{{a_{1}}}}$ = 1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{\frac{a_{0}}{a_1}}}}$    

Mit $ \Phi$ = $ {\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$ folgt:

$\displaystyle \Phi$ = 1 + $\displaystyle {\frac{{1}}{{\Phi}}}$2 (4)

Aufgaben:

  1. Lassen sich die Überlegungen zum regulären Fünfeck ohne Umfangswinkelsatz durchführen?
  2. Kann man die Gleichung 4 direkt an der Figur nur mit dem Strahlensatz erkennen?
  3. Möchte man ein reguläres Fünfeck mit der Seite b = 1 konstruieren, so ist die Diagonale a zu konstruieren. Es ist also geometrisch die Gleichung a = 1 + 1/a zu lösen. Oder (a - 1/2)2 = 5/4. Dies gelingt mit dem Höhensatz oder dem Kathetensatz von Euklid.

  4. (In Gedenken an Euklid): [Euk73, Seite 83 ff]
    1. Beschreibe einem Kreis ein reguläres Fünfeck ein.
    2. Konstruiere ein reguläres 15 Eck.

  5. Betrachtet man das Fünfeck nocheinmal sinnend, so sieht man,: Es gibt eine zentrische Streckung, welche [AB] in [E, C] abbildet. Der Streckfaktor ist $ \Phi$. Beachte die Abbildung 2.
    Abbildung 2: Gestreckt
    \includegraphics{/home/andreas/tex/mathematik/fuenfeck/bilder/fuenfeck2}
  6. Wendet man die Umkehrung der zentrischen Streckung etwa 5 mal an so erhält man die Abbildung 3.
    Abbildung 3: Fuenfecke
    \includegraphics{/home/andreas/tex/mathematik/fuenfeck/bilder/fuenfeck3} \includegraphics{/home/andreas/tex/mathematik/fuenfeck/bilder/fuenfeck4}
  7. Der Winkel am Streckzentrum ist 360. Das ist der Winkel im Bestimmungsdreieck des 10 Ecks. Man erhält also eine schöne Figur, wenn man diesen Schweif 10 mal ums Zentrum dreht. Dabei geht B in A über und C in E. Siehe Abbildung 3.

  8. Eine andere Figur erhält man, wenn man um den Mittelpunkt des ursprünglichen Fünfecks dreht.
    Abbildung 4: Fünfflocke
    \includegraphics{/home/andreas/tex/mathematik/fuenfeck/bilder/fuenfeck5}
    Warum gibt es solche Schneeflocken nicht? Siehe Abbildung 4. 3
  9. Wie oft umläuft man den Mittelpunkt des Kreises, wenn man auf dem Pentagramm langläuft? Wie sieht es beim Siebeneck aus. Da gibt es mehrere solche Sterne.
  10. Wieviel verschieden Sterne sind möglich in einem regulären n Eck? Wie groß sind jeweils die Umlaufzahlen?
  11. Leite ähnlich wie oben (geometrisch) her, dass $ \sqrt{{2}}$ irrational ist.
Möchte man studieren wie man eine Sache nicht erklärt sondern nur schwafelt, so gelingt dies z.B. auf einer Internetseite von GEO

http://www.geo.de/GEO/wissenschaft_natur/2001_12_GEO_unendlichkeit_denker/

Andreas Bartholome
2004-10-27