Beispiele:

1. 2ⁿ > 10000 für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.
2. 2ⁿ > n² für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.
3. 2ⁿ > n³ für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.
4. Ist a > 1, und c beliebig aus $\mbox{$\mathbb{R}$}$, dann ist aⁿ > c. für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.

Also für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$$\le$${\frac{{1}}{{100}}}$. Dies ist aber nicht nur für ${\frac{{1}}{{100}}}$ richtig. Sei dazu $\epsilon$ > 0 gegeben. Dann hat man folgende Äquivalenz: ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$$\le$$\epsilon$$\iff$${\frac{{1}}{{\epsilon^2}}}$$\le$n. Dies ist nach dem Axiom von Archimedes für ein k $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ richtig und infolgedessen erst recht für alle n > k. Das heißt für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ ist ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$$\le$$\epsilon$. Dabei war das $\epsilon$ > 0 völlig beliebig gewählt. Wir erklären:

Definition 1.2.8   Eine Folge heißt Nullfolge genau dann, wenn für jedes $\epsilon$ > 0 gilt: Für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : | a_n| < $\epsilon$. Bezeichnung: $$\lim\limits_{{n \to\infty}}^{}$$(a_n) = 0.

Satz 1.2.2   Folgende Aussagen sind äquivalent:

1. $\mbox{$\mathbb N$}$ ist unbeschränkt. (Axiom von Archimedes)
2. ${\frac{{1}}{{n}}}$ ist eine Nullfolge.

Beweis:1. $\Longrightarrow$2.: Sei $\epsilon$ > 0 gegeben. Dann gibt es ein k $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ mit: ${\frac{{1}}{{k}}}$ < $\epsilon$. Für alle n$\ge$k gilt dann erst recht ${\frac{{1}}{{n}}}$$\le$${\frac{{1}}{{k}}}$ < $\epsilon$. Also ist für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : ${\frac{{1}}{{n}}}$ < $\epsilon$.

2. $\Longrightarrow$1.: Sei c > 0. Wir zeigen, dass c keine obere Schranke von $\mbox{$\mathbb N$}$ sein kann. Da $\left(\vphantom{\frac{1}{n}}\right.$${\frac{{1}}{{n}}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{n}}\right)$ eine Nullfolge ist, ist für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : ${\frac{{1}}{{n}}}$ < ${\frac{{1}}{{c}}}$. Also ist für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : c < n. Daher kann natürlich c keine obere Schranke von $\mbox{$\mathbb N$}$ sein. $\Box$

Satz 1.2.3   Jede Nullfolge ist beschränkt.

Beweis:Sei (a_n) eine Nullfolge. Dann ist | a_n| < 1 für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$. Sind schon alle | a_n| < 1, dann ist schon -1 eine untere Schranke von (a_n) und es gilt: -1 < a_n < 1 für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$. Andernfalls gibt es nur endlich viele a_n mit: 1 < | a_n|. Unter diesen endlich vielen an gibt es ein größtes | a_k| = C. Dann ist für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : - C < | a_n| < C. Damit ist die Behauptung gezeigt. $\Box$

Satz 1.2.4  

1. Sind (a_n) und (b_n) Nullfolgen, dann ist (a_n + b_n) eine Nullfolge.
2. Ist $\lim_{{n}}^{}$(a_n) = 0 und (b_n) beschränkt, dann ist (a_nb_n) eine Nullfolge.
3. Ist lim(b_n) = 0 und | a_n|$\le$| b_n| für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$, dann ist $\lim_{n}^{}$(a_n) = 0. Man sagt die Folge (b_n) ist eine Majorante der Folge (a_n).

Beweis:Zu 1.: Sei $\epsilon$ eine winzig kleine Zahl > 0. Dann ist für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$:

1) | a_n| < ${\frac{{\epsilon}}{{2}}}$ und

2) | b_n| < ${\frac{{\epsilon}}{{2}}}$ und also :

| a_n + b_n|$\le$| a_n| + | b_n| < ${\frac{{\epsilon}}{{2}}}$ + ${\frac{{\epsilon}}{{2}}}$ = $\epsilon$ für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$.

Zu 2.: C eine obere Schranke von (| b_n|). Sei nun $\epsilon$ > 0. Dann ist für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$ : | a_n| < ${\frac{{\epsilon}}{{C}}}$. Damit | a_nb_n| = | a_n|| b_n|$\le$${\frac{{\epsilon}}{{C}}}$ ^. | b_n|$\le$${\frac{{\epsilon}}{{C}}}$ ^. C = $\epsilon$ für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$. Daraus ergibt sich die Behauptung.

Zu 3.:Einfachst. $\Box$

Sprechweise: Ist (a_n) eine Nullfolge, deren Folgenglieder fast alle $\neq$ 0 sind, so sagt man (a_n) ist eine ,,unendlich kleine Zahl``. Achtung!!!. (a<sub>n</sub>) ist dann keine Zahl, sondern eine Folge. Sie wird gegen das ,,Ende`` hin kleiner als jede vorher gewählte positive Zahl. Schreibweise: dx = (a_n). Ist dx = (a_n) eine unendlich kleine Zahl und a_n > 0 für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$, so nennt man dx größer 0. dx > 0. Entsprechend für dx < 0. Mit dieser Bezeichnung kann man obigen Satz vieleicht etwas eingängiger formulieren.

1. Die Summe unendlich kleiner Zahlen ist unendlich klein.
2. Das Produkt aus etwas beschränktem und einer unendlich kleinen Zahl, ist unendlich klein.
3. Ist dx unendlich klein und 0 < dy < dx , dann ist dy unendlich klein.