Verkettung von Funktionen

Pfeile kann man aneinanderhängen.

Definition 2.3.1   Sind f : A $\rightarrow$ B und g : B $\rightarrow$ C Funktionen, so heißt gof : A $\ni$ x $\mapsto$ (gof )(x) = g(f (x)) $\in$ C die Verkettung der beiden Funktionen.

Beispiel: Sei h(x) = (2x - 1)ⁿ. Ist dann f (x) = 2x - 1 und g(y) = yⁿ, so ist h(x) = (gof )(x).

Satz 2.3.1   Bei der Verkettung von Funktionen gilt das Assoziativgesetz. Das heißt, sind f : A $\rightarrow$ B, g : B $\rightarrow$ C und h : C $\rightarrow$ D Funktionen, dann ist ho(gof )= (hog)of.

Beweis:Nachrechnen. $\Box$

Satz 2.3.2   Seien A, B, C Teilmengen von $\mbox{$\mathbb{R}$}$, a $\in$ A, f : A $\rightarrow$ B eine in A stetige Funktion und g : B $\rightarrow$ C eine in f (a) stetige Funktion. Dann ist gof : A $\rightarrow$ C eine in a stetige Funktion.

Beweis:Sei (a_n) eine Folge, die gegen a konvergiert. Dann konvergiert (f (a_n)) wegen der Stetigkeit von f gegen f (a). Weil g stetig in f (a) ist, konvergiert (g(f (a_n))) gegen g(f (a)). Dies bedeutet die Stetigkeit von gof im Punkt a.

$\Box$