Konvergente Folgen.

Die Folge ${\frac{{n}}{{n+1}}}$ strebt gegen 1 wie jeder leicht ,,sieht``.

Definition 1.2.9   Eine Folge (a_n) hat den Grenzwert a genau dann, wenn

$\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$| a - a_n| = 0 ist. Man schreibt: $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n) = a.

Satz 1.2.5   Jede konvergente Folge hat nur einen Grenzwert.

Beweis:Angenommen die konvergente Folge (a_n) hätte zwei Grenzwerte a < b. Dann sind nach Definition die Folgen (a - a_n) und (b - a_n) Nullfolgen. Also ist ((b - a_n) - (a - a_n)) = (b - a) eine Nullfolge. Dies kann aber nicht sein. $\Box$

Satz 1.2.6   Sind (a_n) und (b_n) konvergente Folgen mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n) = a und $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(b_n) = b, dann ist (a_n + b_n) eine konvergente Folge und es ist:

$\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n + b_n) = a + b.

Beweis: ((a + b) - (a_n + b_n)) = (a - a_n) + (b - b_n). Beide Summanden sind Nullfolgen. Daraus ergibt sich mit der Definition die Behauptung. $\Box$

Satz 1.2.7   Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis:Sei (a_n) eine konvergente Folge mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n) = a. Dann ist | a_n - a + a|$\le$| a - a_n| + | a|. Der erste Summand ist beschränkt, da er eine Nullfolge ist. Der zweite ist sowieso beschränkt. Daraus ergibt sich die Behauptung. $\Box$

Satz 1.2.8   Sind (a_n) und (b_n) konvergente Folgen, dann ist die Folge (a_n ^. b_n) konvergent und es gilt: $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_nb_n) = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n)$\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(b_n).

Beweis: | a ^. b - a_nb_n| = | ab - a_nb + a_nb - a_nb_n|$\le$| a - a_n|| b| + | a_n|| b - b_n|. Nun sind beide Summanden Produkte aus einer beschränkten Folge und einer Nullfolge. Damit ist | a ^. b - a_nb_n| eine Nullfolge. $\Box$

Satz 1.2.9   Sei (a_n) eine konvergente Folge und a = $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n) $\neq$ 0. Dann ist $\left(\vphantom{\frac{1}{a_n}}\right.$${\frac{{1}}{{a_n}}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a_n}}\right)$ konvergent und es ist $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$${\frac{{1}}{{a_n}}}$ = ${\frac{{1}}{{a}}}$.

Beweis:Wir setzen zunächst a > 0 voraus. Ich zeige ${\frac{{1}}{{a_n}}}$ ist beschränkt. Ist s irgend eine Zahl 0 < s < a. Für fast alle Folgenglieder gilt:

0 < s < a_n < a + (a - s). Damit gilt für fast alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$: ${\frac{{1}}{{a_n}}}$ < ${\frac{{1}}{{s}}}$ . Die endlich vielen Folgenglieder, die diese Ungleichung nicht erfüllen sind erst recht beschränkt, denn jede endliche Menge ist beschränkt. Also ist die Folge ${\frac{{1}}{{a_n}}}$ beschränkt. Nun ist : $\left\vert\vphantom{\frac{1}{a} - \frac{1}{a_n}}\right.$${\frac{{1}}{{a}}}$ - ${\frac{{1}}{{a_n}}}$$\left.\vphantom{\frac{1}{a} - \frac{1}{a_n}}\right\vert$ = ${\frac{{\vert(a-a_n)\vert}}{{(\vert a_n\vert\vert a\vert)}}}$. Das Produkt aus etwas beschränktem und einer Nullfolge ist eine Nullfolge. $\Box$