Kurze Geschichte der Unendlichkeit

Gibt es Unendlichkeit oder Endlichkeit oder beides. Darüber haben vielleicht schon die Steinzeitjäger am Lagerfeuer getritten haben, während sie den Sternhimmel betrachteten. Es wird immer welche gegeben haben, die genau wußten, wo die Welt zu Ende ist, die genau wußten wann man umkehren mußte. Andere wagten sich einen Schritt weiter. Das sind und waren die ,,eins weiter`` Optimisten. Es gibt immer einen Schritt in neues Land.

Aristoteles lehnte die Unendlickeit des Universums entschieden ab. Für ihn befand sich die existierende Welt innerhalb der äußersten Kristallschale, an der die Fixsterne hingen. Da draußen war so viel Nichts, so dass es sogar kein Draußen mehr gab. Die Welt als ganzes war vollkommen. Ohne Grenzen zu sein, war ein Mangel, es mangelte an Grenzen. Ein vollkommenes Ding hat auch eine Grenze. Natürlich wusste auch er, dass man zumindest in der geistigen Welt stets Neuland betreten kann. Daher erfand er den seltsamen Begriff der ,,potentiellen Unendlichkeit``. Das ist eine Unendlichkeit, die nicht tatsächlich vorhanden ist, sondern immer im Entstehen begriffen ist. Der aktuellen Unendlichkeit verweigerte er das Dasein. Noch Karl Friedrich Gauß war so der Autorität des Aristoteles hörig, dass er ,,zuförderst gegen den Gebrauch des aktuell Unendlichen protestierte`` . Als Anfang des 20ten Jahrhunderts die Widersprüche in der noch jungen Mengenlehre auftauchten fiel auch Mathematikern vom Schlage Poincarés nichts bessers ein als den guten Aristoteles wieder hervorzuzerren: Er meinte ,,Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen, und haben sich in Widersprüche verwickelt``(zitiert nach [HM91, Seite 447]

Der antike Philosoph und Dichter Lukrez (ca 96 bis 55 v.Chr) widersprach heftig Aristoteles.

Abbildung 1: Speer

heftig. Er meinte: ,,Zeig mir lieber Aristoteles Deine Weltgrenze. Ich will hingehen mich auf die Grenzmauer stellen und meinen Speer werfen. Wohin fliegt er. Wird er zurückgeworfen oder fliegt er über die Grenze? Was geschieht mit dem Speer. Mit dieser Frage will ich dich verfolgen, bis du mir eine einleuchtende Antwort geben kannst.``

Auch Aurelius Augustinus verteidigte das aktual Unendliche mit Leidenschaft. Er braucht in seiner Argumentation gegen die ewige Wiederkehr des Gleichen eine unendliche Welt. Eine schöne Legende erzählt: Sinnend spazierte er morgens am Ufer des Meeres und sieht er einen Knaben am Ufer spielen. Mit einer Muschel füllte er aus dem Meer Wasser in ein kleines Loch. Augustinus fragte ihn. ,,Was machst du da¿` ,,Ich schöpfe das Meer aus``. Augustinus lachte und meinte das Kind belehren zu müssen. Der Junge aber sagte: ,,Eher hat das Meer in dieser Kuhle Platz, als dass du die Unendlichkeit Gottes verstehst.`` Die Methode des Ausschöpfens wird uns noch beschäftigen.

Thomas von Aquin hielt an Lehre seines Meisters Aristoteles fest. Meiner Meinung nach hauptsächlich deswegen, weil in einer endlichen Welt die Methode des Abstiegs so gut funktioniert. Alles was ist, hat ein Ursache. Diese ist wieder verursacht. So erhalten wir eine absteigende Kette von Ursache und Wirkung. In einer endlichen Welt muss jede solche Kette abbrechen. Es gibt einen Erstverursacher. Dies ist Gott. Der Beweis klappt aber nur in einer endlichen Welt.

Giordano Bruno ließ sich für die Unendlichkeit des Universums foltern und verbrennen. Er griff das Argument von Lukrez wieder auf und fragte. ,,Wenn die Welt endlich ist und außerhalb nichts, wo ist dann die Welt. Hängt sie im Nichts? Wo ist die Hand die ich über den Rand des Universums hinaus ausstrecke? ``.

Verrückte oder scheinbar verrückte Fragen wurden im Zusammenhang mit der Unendlichkeit beredet. Engel sind Geister. Wem Engel zu transzendent sind, ersetze sie durch Punkte. Sie dehnen sich nicht wie Körper räumlich aus. Der wissensdurstige Scholastiker fragt sich: ,,Wieviel Engel haben auf einer Nadelspitze Platz¿` Oder wieviel Engel können von der Decke des Brautzimmers in der ,,Camera degli Sposi`` den jungen Eheleuten bei ihrem vergnüglichen Tun zuschauen? Eine Nadelspitze hat eine gewisse Breite etwa $1$mm. Angenommen auf dieser Nadelspitze haben $x$ solcher Wesen Platz. Dann können sich doch auf $1$m sicher $1000x$ dieser transzendenten Wesen lagern. Aber der Strahlensatz belehrt uns eines besseren. Offensichtlich gibt es zu jedem Punkt des $1$m genau einen Punkt des $1$mm. Also ist $x=1000x$. Es folgt daraus $x=0$. Für Heiden, die sowieso nicht an Engel glauben, ist dies nicht absurd. Aber die sollten ja Punkte betrachten. Dass aber kein Punkt auf einem $1$m Stab liegen soll, ist mit Sicherheit noch absurder. Daher muss die Vorausetzung falsch sein: Es gibt eine bestimmte Zahl von Punkten auf einer Strecke. Es ist nicht alles durch Anzahlen meßbar, wie der weise Pythagoras lehrte. Halten wir nochmal in moderner Sprechweise fest:

Satz 1.1   Es gibt eine injektive Funktion $f$ von einer Strecke in dieselbe Strecke, welche nicht surjektiv ist.

Pythagoras hat Unrecht: Nicht alles ist nach Maß und Zahl geordnet.

Noch krasser -schokierender- wurde diese Erkenntnis mit der Entdeckung der Perspektive zu Beginn der Renaissance unter anderen beispielsweise von Mantegna (1431 bis 1506).

Abbildung 2: Perspektive

Betrachten wir die folgende Situation.

Abbildung 3: Engel

Jedem Punkt der Halbgeraden entspricht genau ein Punkt der ,,Leinwand``. Das heißt auf der Leinwand sind genau so viele Punkte, wie auf der ganzen Halbgeraden. Es gibt eine injektive Funktion von der ganzen Geraden in eine Strecke. Oder wieder: Es gibt eine injektive Funktion von der Geraden in die Gerade welche nicht surjektiv ist. Roger Bacon, Wilhelm von Ockham und Nikolaus von Oresme haben solche Fragen im ,,finstern Mittelalter`` bedacht [Dei04, Seite 68]. Sehr viel später betrachte Galilei die Quadratfunktion. $f:$$\mbox{$\mathbb{N}$}$$\ni n\mapsto n^{2}\in$   $\mbox{$\mathbb{N}$}$. Er wunderte sich darüber dass sie injektiv, aber nicht surjektiv ist. Dies heißt doch in einem gewissen Sinn, dass es genausoviel Quadratzahlen wie natürliche Zahlen überhaupt gibt. Schließlich systematiesierte Bernhard Bolzano in seiner Schrift ,,Paradoxien des Unendlichen`` diese Wunder. Erst Richard Dedekind griff in seiner Schrift ,,Was sind und was sollen die Zahlen`` diese Eigenschaft auf und erklärte: Eine Menge $A$ heißt unendlich, wenn es eine injektive Funktion von $A$ nach $A$ gibt, welche nicht surjektiv ist. Dabei heißt eine Funktion von $A$ nach $B$ injektiv, wenn bei jedem Element aus $B$ höchstens ein Pfeil endet. Die Funktion heißt surjektiv, wenn bei jedem Element aus $B$ mindestens ein Pfeil endet. Bis dahin war das Wort ,,Unendlichkeit`` nur mit einer Fülle unklarer Vorstellungen verbunden. Dedekind verband das Wort mit einem klaren Begriff.