Lösungen

Lösungen:

1. Eine natürliche Zahl b hat im 10er System die Form: b = a_n10ⁿ + ... + a₀ Dabei sind die a₀ bis a_n Ziffern also $\le$9. Das heißt es ist b$\le$10ⁿ und die Quersumme von b = Q(n)$\le$(n + 1)ßcdot9. Wir erhalten für ein b, welches die Forderungen der Aufgabe erfüllt (n + 1) ^. 9$\ge$Q(b) = b/13 und daher (n + 1) ^. 117$\ge$b$\ge$10ⁿ. Nun gilt die folgende Behauptung:

   Beh.: Für n$\ge$3 ist 10ⁿ > (n + 1) ^. 117.

   Beweis: Für n = 3 ist die Behauptung sicher richtig. Sei k eine natürliche Zahl, für die die Behauptung richtig ist. Das heisst 10^k > (k + 1) ^. 117. Dann gilt: 10^k+1 = 10 ^. 10^k > 10(k + 1) ^. 117. Nun ist 10(k + 1) ^. 117 > (k + 2) ^. 117. Damit folgt die Behauptung. Das heißt für alle n$\ge$3 ist b$\ge$10ⁿ > (n + 1) ^. 117$\ge$Q(b). Also können Zahlen mit mehr als drei Stellen die Forderung der Aufgabe nicht mehr erfüllen. Wir haben also nur im Bereich zwischen 1 und 1000 nach solchen Zahlen zu suchen. Dort ergeben sich als einzige Lösungen: 117, 156, 195, 286.

2. Fehlt

3. 1. Eine Zahl, die in der Neunerdarstellung nur aus 1ern besteht ist von der Form 1 + 9 + ... +9^k = $${\frac{{9^{k+1}-1}}{{8}}}$$. Eine Dreieckszahl ist von der Form $${\frac{{x\cdot (x+1)}}{{2}}}$$. Zu überlegen ist daher, ob die Gleichung

      $${\frac{{9^{k+1}-1}}{{8}}} {\frac{{x\cdot (x+1)}}{{2}}}$$

      
      
      für gegebenes k $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ eine natürliche Zahl als Lösung hat. Man kann diese Gleichung umformen.
      

      9^k+1 - 1 = 4x² + 4x

      (3^k+1)² = (2x + 1)²

      3^k+1 = 2x + 1

      
      Die letzte Gleichung hat sicherlich eine Lösung. Also auch die erste. Zum Beispiel ergibt sich für k = 1: 9 = 2x + 1 und daher x = 4 und tatsächlich ist die 4te Dreieckszahl 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 9 + 1.
   2. Sei 2k + 1 eine ungerade Zahl. Dann ist (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1
      • 1.Fallo: k selber ist gerade. Dann bleibt beim Teilen durch 8 der Rest 1 und die Behauptung folgt.
      • k ist ungerade etwa k = 2l + 1. Dann hat man (2k + 1)² = (4l + 3)² = 16l² + 24l + 9 und beim Teilen durch 8 bleibt der Rest 1.