Thalessatz

Thales von Milet wurde ungefähr 625 vor Christus in Milet Kleinasien geboren und starb ungefähr 547. Er war Naturphilosoph, Mathematiker, Ingenier und Politiker. Als Kaufmann sagte er in Ägybten richtig die Sonnenfinsternis von 585 v. Christus voraus und erwarb sich dadurch großes Ansehen. Er war einer der ersten Menschen, die natürliche Ursachen für gewaltige Naturereignisse suchten. So versuchte er die Erdbeben nicht durch den Zorn der Götter zu deuten, sondern nach seiner Theorie schwamm die Erde auf einem riesiegen Wasermeer. Die Wellenbewegungen deises Meeres verursachten die Beben. Von ihm stammt eine erste Version des folgenden wunderschönen Satzes.

Satz 3.3.1 (Satz des Thales)  

• Ist [AB] ein Kreisdurchmesser und C ein Punkt auf dem Halbkreis über [AB], so ist das Dreieck rechtwinklig bei C.
• Ist das Dreieck rechtwinklig bei C, so liegt C auf dem Kreis über AB

Beweis:

Abbildung 3.5: Thalessatz

Sei M der Mittelpunkt von [AB] Dann gilt $\overline{{AM}}$ = $\overline{{MB}}$ = $\overline{{MC}}$ Daher ist $\alpha$ = $\alpha{^\prime}$ und $\beta$ = $\beta{^\prime}$. Außerdem ist $\alpha$ + $\alpha{^\prime}$ + $\beta$ + $\beta{^\prime}$ = 180⁰. Also ist 2$\alpha{^\prime}$ +2$\beta{^\prime}$ = 180⁰. Daher ist $\alpha{^\prime}$ + $\beta{^\prime}$ = 90⁰.

Zu 2.

Abbildung 3.6: Umkehrung des Thalessatze

Sei m_b die Mittelsenkrechte der Seite [AC] M ist der Schnittpunkt von m_b mit [AB]. Dann ist $\alpha$ = $\alpha{^\prime}$, da das Dreieck $\triangle$AMC gleichschenklig ist. Also ist $\alpha{^\prime}$ + $\beta{^\prime}$ = 90⁰ und es ist $\alpha$ + $\beta$ = 90⁰. Also ist $\beta$ = $\beta{^\prime}$. Also ist $\overline{{MC}}$ = $\overline{{MB}}$ und damit ist $\overline{{MA}}$ = $\overline{{MC}}$ = $\overline{{MB}}$. Also liegen die drei Punkte A, B, C auf einem Kreis um M mit Radius $\overline{{MC}}$.

$\Box$

Definition 3.3.1   Die Lote von den Eckpunkten A, B, C eines Dreiecks auf die gegenüberliegenden Seiten heißen Höhen des Dreiecks. h_c ist das Lot von C auf [AB]. h_b ist das Lot von B auf [AC] und so weiter.

Abbildung 3.7: Die Höhen

Definition 3.3.2   Sei P ein Punkt der Geraden g. Ist F der Fußpunkt des Lotes von P auf g, so heißt die Zahl $\overline{{PF}}$ Abstand von P zu g.

Bemerkung 3.3.2   Auf jeder Seite der Geraden g gibt es eine Parallele im Abstand d. Die Punkte auf dieser Parallelen sind genau die Punkte, die von g den Abstand d haben.