Der Kongruenzsatz SsW

Wir entnehmen der Anschauung folgendes: Gegeben sei eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf der Geraden liegt. Dadurch wird die Ebene in drei Mengen unterteilt.

• Die Halbebene auf der Seite von A.
• Die Halbebene auf der A nicht liegt.
• g selber.

Liegt ein Punkt B nicht in der Halbebene von A, so hat die Strecke [AB] mit der Geraden g einen Schnittpunkt. Liegt B in der Halbebene von A, so hat die Strecke [A, B] mit g keinen Schnittpunkt.

Satz 3.2.1   In jedem Dreieck gilt: a < b genau dann, wenn $\alpha$ < $\beta$. Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber.

Beweis:Sei zunächst a < b. Dann liegt C auf der Seite von B. Die Mittelsenkrechte m_c von [AB] hat also einen Schnittpunkt S mit der Geraden CA. Also ist $\angle$SAB = $\angle$SBA, da das Dreieck $\triangle$ABS gleichschenklig ist. Nun ist $\angle$CAB = $\angle$SAB < $\angle$SBA + $\angle$SBC = $\angle$CBA. Dies war zu zeigen.

Es sei $\beta$ > $\alpha$. Wäre a > b, so wäre $\alpha$ > $\beta$ nach der vorhergehenden Überlegung. Wäre a = b, so wäre $\alpha$ = $\beta$, da in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich groß sind. Beides kann nach Voraussetzung nicht sein. $\Box$

Folgerung 3.2.2   Ein Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn die Basiswinkel gleich groß sind.

Beweis:Ist das Dreieck gleichschenklig, so sind die Basiswinkel gleich groß. Dies haben wir früher schon in einer Aufgabe gezeigt.

Seien nun die Basiswinkel gleich groß. Dann kann weder a < b noch a > b gelten, wegen dem Satz vorher. $\Box$

Folgerung 3.2.3   In einem Dreieck sei b$\ge$a und P $\in$ [AB] kein Randpunkt. Dann ist $\overline{{PC}}$ < b.

Beweis:

Abbildung 3.3: Innere Linie

Es ist $\delta$ = $\gamma_{2}^{}$ + $\beta$ > $\beta$ > $\alpha$. Also ist $\delta$ > $\alpha$. Daher b > $\overline{{CP}}$ $\Box$