Zu Kapitel 4

25c

Wir formulieren allgemein: Ist a $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ und a² + 1 keine Quadratzahl, so ist die Kettenbruchentwicklung von $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a = [2a, 2a,$\overline{{2a}}$,...].

Beweis: Es sei a₀ = $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a und a₁ = 1. Dann ist $\left[\vphantom{\frac{a_{0}}{a_{1}}}\right.$${\frac{{a_{0}}}{{a_{1}}}}$$\left.\vphantom{\frac{a_{0}}{a_{1}}}\right]$ = [$\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a] = 2a. Denn a² < a² + 1 und a² +1 < (a + 1)². Daher ist $\sqrt{{a^{2}+1}}$ < a + 1. Also ist [$\sqrt{{a^{2}+1}}$] = a und damit [$\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a] = 2a. Es ist a₂ = a₀ -2 ^. a ^. 1 = $\sqrt{{a^{2}+1}}$ - a und ${\frac{{a_{1}}}{{a_{2}}}}$ = ${\frac{{1}}{{\sqrt{a^{2}+1} -a}}}$ = $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a.

Beh: Für alle n $\in$ $\mbox{$\mathbb{N}$}$ gilt:

1. ${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$ = 2a und
2. ${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$ = $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a

Bew: (a) und (b) gilt für n = 0. Gelte die Beahuptung für n. $\left[\vphantom{\frac{a_{n}}{a_{n+1}}}\right.$${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$$\left.\vphantom{\frac{a_{n}}{a_{n+1}}}\right]$ = 2a und ${\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$ = $\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a. Daher ist a_n+2 = a_n -2a ^. a_n+1. Es folgt:

$${\frac{{a_{n+1}}}{{a_{n+2}}}} {\frac{{a_{n+1}}}{{a_{n}-2a\cdot a_{n+1}}}}$$ =

$${\frac{{a_{n+1}}}{{a_{n+1}}}} {\frac{{a_{n}}}{{a_{n+1}}}}$$ =

$${\frac{{1}}{{\sqrt{a^{2}+1} -a}}}$$ =

$$\sqrt{{a^{2}+1}}$$ =

und $\left[\vphantom{\sqrt{a^{2}+1}+a}\right.$$\sqrt{{a^{2}+1}}$ + a$\left.\vphantom{\sqrt{a^{2}+1}+a}\right]$ = 2a. Daher folgt die Behauptung.