Eigenschaften differenzierbarer Funktionen

Definition 3.3.1   f hat an der Stelle a ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung U_$\epsilon$(a) : {x|| x - a| < $\epsilon$} gibt, so dass für alle x $\in$ U_$\epsilon$(a) gilt: f (x)$\le$f (a). Entsprechend erkärt man den Begriff des lokalen Minimums.

Satz 3.3.1   Es liege a im Innern des Definitionsbereiches von f : $\mathbb {D}$ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$. Ist f an der Stelle a differnzierbar und hat f dort einen lokalen Extremwert, so ist f'(a) = 0.

Beweis:Sei (a_n) die Folge (a + ${\frac{{1}}{{n}}}$). Dann gilt:

$$\lim\limits_{{n \to\infty}}^{}$$$${\frac{{f(a+\frac{1}{n})-f(a)}}{{\frac{1}{n}}}}$$ = f'(a).

Da f an der Stelle a einen lokales Maximum hat, sind fast alle Folgenglieder $\le$ 0. Also ist der Grenzwert f'(a)$\le$ 0. Betrachte man die Folge a - ${\frac{{1}}{{n}}}$, so ergibt sich f'(a)$\ge$ 0. Zusammen ergibt sich, dass f'(a) = 0 ist. $\Box$