Definition und Beispiele

Eine naheliegende Frage ist folgendes: Welche Funktionen erhalten Konvergenz?

Definition 2.1.1   Seien A, B Teilmengen von $\mathbb {R}$ und f : A $\rightarrow$ B eine Funktion. f heißt an der Stelle a $\in$ A stetig, wenn für alle Folgen (a_n) $\subset$ A mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$a_n = a gilt: (f (a_n)) ist konvergent und es gilt: $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n) = f (a). Es ist also $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$f (a_n) = f ($\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$a_n).

Man kann bei stetigen Funktionen das lim Zeichen mit dem Funktionszeichen vertauschen.