Aufgaben:

1. Gegeben ist die Folge (a_n). Wenn sie Konvergent ist, dann berechne den Grenzwert der Folge:
   1. a_n = ${\frac{{2n^2-n}}{{n^2+n-1}}}$.
   2. a_n = ${\frac{{3n + 2 (-1)^n}}{{n}}}$.
   3. a_n = ${\frac{{3^n-3^{n-2}}}{{2+3^n}}}$.
   4. a_n = ${\frac{{(2n-1)^4}}{{(n+1)^4}}}$.
   5. a_n = ${\frac{{n\cdot x}}{{n\cdot x+1}}}$ dabei ist x eine beliebige reelle Zahl.
   6. a_n = ${\frac{{n}}{{n +\sqrt{n^2+1}}}}$.
2. Zeige:
   1. Ist (a_n) eine positive konvergente Folge,mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$(a_n) = a, dann ist ($\sqrt{{a_n}}$) eine konvergente Folge mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$$\sqrt{{a_n}}$ = $\sqrt{{a}}$.
   2. Ist (a_n) eine positive konvergente Folge, mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$a_n = a, dann ist $\sqrt[3]{{a_n}}$ eine konvergente Folge mit $\lim\limits_{{n\to \infty}}^{}$$\sqrt[3]{{a_n}}$ = $\sqrt[n]{{a}}$.
3. Sind folgende Folgen konvergent? Wenn ja berechne den Grenzwert.
   1. $\sqrt{{5+ \frac{7}{n}}}$ = a_n.
   2. $\sqrt[3]{{1+ a_n}}$ mit einem beliebigen positiven a aus $\mbox{$\mathbb{R}$}$
   3. $\sqrt{{n+1}}$ - $\sqrt{{n}}$ = a_n.
   4. $\sqrt{{n+a}}$ - $\sqrt{{n}}$ = a_n. Dabei ist a eine beliebige positive Zahl.
4. 1. Wiederhole: Ist 0 < a < 1, dann ist (aⁿ) = (a_n) eine Nullfolge.
   2. Sei 0 < a < 1. Zeige die Folge b_n = 1 + a + a² +...+ aⁿ ist konvergent. Sie hat den Grenzwert ${\frac{{1}}{{1-a}}}$.
5. Gegeben sind folgende periodischen Dezimalbrüche. Wandle sie in gewöhnliche Brüche um.

   (a) 1.$\overline{{2}}$. (b) 1.$\overline{{23}}$, (c) 1.$\overline{{142}}$ (d) 1.$\overline{{142857}}$.

6. In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 1 ist das Seitenmittendreieck gezeichnet. Indem wieder das Seitenmittendreieck usw.
   1. Berechne die Summe aller Flächeninhalte.
   2. Berechne die Summe aller Umfänge.
7. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 ist das Seitenmittenquadrat einbeschrieben. Dem wieder das Seitenmittenquadrat etc.
   1. Berechne die Summe aller Umfänge.
   2. Berechne die Summe aller Flächen.
8. Einem Kreis mit Radius 1 wird ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben, diesem wieder der Inkreis , diesem wieder ein gleichseitiges Dreieck.
   1. Berechne die Summe der Umfänge aller Dreiecke.
   2. Berechne die Summe der Umfänge aller Kreise.
   3. Dasselbe für die Flächen.

9. Einer geraden quadratischen Pyramide (Grundkante 1, Höhe 2) wird der Würfel einbeschrieben, der der Grundfläche aufliegt; mit der Restpyramide oberhalb des Quaders wird genauso verfahren usw. Wieviel % des Pyramidenvolumens macht das Volumen aller unendlich vielen Würfel aus? Welche Gesamtoberfläche haben die Würfel?
10. In eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche und der Höhe h, werden n gleichhohe Quader treppenförmig aufeinendergelegt, so dass die Treppenfigur der Pyramide einbeschrieben ist. Welchem Grenzwert strebt das Volumen der Treppenfigur für n$\to$$\infty$ zu?

11. Ein Gummiball wird aus der Höhe h = 2m fallen gelassen und fällt und steigt abwechselnd, wobei bei jedem Aufprall seine kinetische Energie um 19% abnimmt.
    1. Wie lang dauert der ganze Vorgang?
    2. Welchen Weg legt dabei der Ball total zurück?

12. Morgens um 6 Uhr bricht Jäger Knall zu seiner 10km entfernten Jagdhütte auf. Sein Hund Wau läuft doppelt so schnell, kehrt an der Jagdhütte um, läuft wieder bis zum Herrn zurück und pendelt so ständig zwischen Hütte und Knall hin und her. Welche Strecke ist Wau gelaufen, wenn Knall um 8 Uhr in der Hütte ankommt?
13. Der Quadratfächer:

    In ein Qudrat mit der Seitenlänge a und den Eckpunkten A, B, C, D wird auf der Seite [AB] ein Punkt A₁ gewählt, so dass AA₁ = ${\frac{{1}}{{3}}}$a ist entsprechend wählt man B₁ auf der Seite [BC] und C₁, D₁. Die Figur A₁B₁C₁D₁ bildet wieder ein Quadrat. Dasselbe macht man mit dem Quadrat A₁B₁C₁D₁ etc. Aneinanderstoßende Dreiecke werden nun wie in der Zeichnung rosa gefärbt. Welchen Flächeninhalt hat der rosa Fächer?

14. Die Quadratpflanze: Auf jeder Seite a des Mutterquadrates, und zwar aus dem mittleren Drittel, sproßt ein Tochterquadrat mit der Seite a₁, aus diesem wieder...Hat die Quadratplanze endlichen Flächeninhalt? Welchen? Hat sie auch endlichen Umfang?