Aufgaben:

1. Beweisen Sie, dass Nullfolgen vorliegen.
   1. a_n = ${\frac{{((-1)^n \cdot 4)}}{{(5n-3)}}}$.
   2. a_n = ${\frac{{(1/(3n+1)-1}}{{(3n-1)}}}$.
   3. a_n = (1 + ${\frac{{1}}{{n}}}$) ^. ${\frac{{1}}{{2^n}}}$.
   4. a_n = (2 - ${\frac{{1}}{{n}}}$) ^. (${\frac{{n}}{{2n^3-1}}}$).
   5. a_n = ${\frac{{2^n}}{{n^n}}}$
   6. a_n = ${\frac{{2^n}}{{n!}}}$.
   7. a_n = ${\frac{{1}}{{\sqrt{n}}}}$
   8. a_n = ${\frac{{n}}{{2^n}}}$.
   9. a_n = ${\frac{{(sin(n) + cos^3(n))}}{{n}}}$.

2. 1. Für welche a $\in$ $\mbox{$\mathbb{R}$}$ ist $\left(\vphantom{a_n}\right.$a_n$\left.\vphantom{a_n}\right)$ = $$\left(\vphantom{\frac{1+n}{n^a}}\right.$$$${\frac{{1+n}}{{n^a}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{1+n}{n^a}}\right)$$ eine Nullfolge?
   2. Zeige: Ist k $\in$ $\mbox{$\mathbb N$}$, dann ist a_n = $${\frac{{n^k}}{{n!}}}$$ eine Nullfolge.
   3. Zeige: Ist (a_n) eine Nullfolge dann auch $\sqrt{{\vert a_n\vert}}$.
   4. Zeige: Es ist a > 1, genau dann, wenn $\left(\vphantom{\displaystyle \frac{n}{a^n}}\right.$$${\frac{{n}}{{a^n}}}$$$\left.\vphantom{\displaystyle \frac{n}{a^n}}\right)$ eine Nullfolge ist.
   5. Zeige: Sind (a_n) und (b_n) Nullfolgen, dann auch die Folge c_n = $${\frac{{(a_n^2 + b_n^2)}}{{\vert a_n\vert + \vert b_n\vert}}}$$.