Homomorphismen
Es ist immer wichtig die strukturerhaltenden Abbildungen zu betrachten:
Die Frage ist: Meinen der Urzeithirte Abel und Aryabhata
dasselbe? Bedeuten die Zeichenreihen |||| und 100 dasselbe?
Gibt es eine Übersetzung, die mit dem ,,Eins weiter`` des Urzeithirten
und dem ,,Eins weiter `` des Inders verträglich ist? Ist folgendes Diagramm kommutativ?
Wenn Abel eins weiter geht und dann übersetzt, muss dasselbe herauskommen, wie
wenn zuerst übersetzt wird und dann der Inder eins weiter geht. Betrachtet man
die Paare der Kette so sieht man die Menge der Paare
ein Strichmuster
ein 01 Muster
ist gegenüber der Abbildung
abgeschlossen. Tatsächlich gibt
es eine solche Übersetzung. Sie ist leicht zu programmieren.
Betrachten wir andererseits das Bild 4, so sehen wir sofort,
dass eine solche Übersetzung vom ,,einfachsten Zykel`` in den ,,Kreis`` nicht
gelingen kann.
Beweis:1.
3. Sei . Dann ist
für
alle wegen der Kommutativität des Diagramms.
3.
Es sei
. Dann ist
. Also ist
. Also ist
. Also ist gegenüber
abgeschlossen.
2.
1. Sei .
Also ist
. Da eine Funktion ist, ist
. Das war behauptet.
Erklärung 2.4
Sind
und Ketten, so heißt
ein
Homomorphismus, wenn die Eigenschaften des Satzes erfüllt.
Beispiele:
- Sei
.
Wählt man im Ziel
so sind die Homomorphismen
gerade die Abbildungen
mit
für alle
. Also die zum 0-Punkt punktsymmetrischen Abbildungen.
- Sei
und
die Identität. Die Homomorphismen
sind gerade die Abbildungen, die symmetrisch gegenüber der
Achse sind.
- Sei
und die
Identität. Dann sind die Homomorphismen
gerade die periodischen Abbildungen mit der Periode .
- Ich habe hier ein paar Beispiele von Homomorphismen gemalt:
Satz 2.4
Die Klasse der einstelligen Algebren bilden zusammen mit den zugehörigen Homomorphismen
eine Kategorie.
Beweis:Die Identität ist immer ein Homomorphismus. Sind
und
drei Ketten und
,
Homomorphismen. Dann ist für ein :
. Also ist ein Homomorphismus.
Satz 2.5
- In der Kategorie der einstelligen Algebren gibt es Produkte.
- In der Kategorie der einstelligen Algebrengibt es Koprodukte.
Ist eine gegenüber abgeschlossene Untermenge der Kette
, so ist die Inklusion ein Homomorphismus. Die Abbildung
ist natürlich selber ein Homomorphismus.
Ist
eine Kette, so ist
die Menge der Abbildungen, die mit kommutieren.
Satz 2.6
In der Kategorie der einstelligen Algebren gibt es Differenzkerne.
Beweis:Seien
zwei
Homomorphismen. Außerdem erfülle der Homomorphismus
die
Gleichung .
ist abgeschlossen gegenüber . Denn für ein gilt:
. Daher ist die
Inklusionsabbildung
ein Homomorphismus mit
. Erklären wir nun
,so ist
. ist auch die einzige Abbildung, die dies erfüllt.
Beweis:Seien
zwei Homomorphismen, die
für
alle erfüllen. Durch Induktion zeige ich nun, dass für
alle ist. Sei dazu
mit
Nach Voraussetzung ist
. Ich zeige: ist gegenüber abgeschlossen. Sei dazu .
Also ist . Da Homomorphismen sind folgt:
. ist gegenüber
abgeschlossen. Nun ist aber die kleinste Menge, die enthält und
gegenüber abgeschlossen ist. Daher ist . Dies war zu zeigen.
Andreas Bartholome
2005-03-06