Gelesenes Gedanken

• Lukrez zitiert nach [Har83, Seite 166] Lukrez schrieb ,,Die Beobachtung zeigt, dass jeder Gegenstand durch einen andren begrenzt wird. Die Hügel werden von der Luft demarkiert und die Luft durch die Hügel. Das Land setzt den Meeren Grenzen und das Meer jedem Land. Aber das Universum wird durch nichts außen begrenzt`` Jenen, die an ein endliches Universum mit einem äußeren Rand glaubten schlug er folgendes Rätsel vor (siehe Abbildung) ,,Nimm einen Augenblick an, der ganze Raum sei begrenzt und jemand werfe über seine äußere Grenze hinaus einen Speer. Entscheidest du dich für die Annahme, dass das Geschoss, das mit aller Macht geworfen wird, entlang der Zielrichtung fliegen wird? Oder glaubst du, dass etwas den Speer auf dem Wege blockieren und anhalten wird? Du mußt dich für die eine oder andere Alternative entscheiden.... Mit diesem Argument werde ich dich verfolgen. Wohin auch immer du die äußerste Grenze von Dingen verlegen magst, ich werde dich fragen 'Gut dann, was geschieht mit dem Speer?' `` Lukrez gibt die atomistische Antwort:,,Lerne daraus, dass das Universum in keiner Richtung begrenzt ist.``
• Aus B. Bolzanos ,,Paradoxien des Unendlichen`` (Prag 1851) nach [Bec75, Seite 275] ,,Ich behaupte nämlich: Zwei Mengen, die beide unendlich sind, können in einem solchen Verhältnisse zueinander stehen, dass es einerseits möglich ist, jedes der einen Menge zugehörige Ding, mit einem der anderen zu einem Paare zu verbinden mit dem Erfolge, dass kein einziges Ding in beiden Mengen ohne Verbindung zu einem Paare bleibt, und auch kein einziges in zwei oder mehreren Paaren vorkommt; und dabei ist es doch andererseits möglich, dass die eine dieser Mengen die andre als einen bloßen Teil in sich fasst,so dass die Vielheiten, welche sie vorstellen, wenn wir die Dinge derselben alle als gleich, d.h als Einheiten betrachten, die mannigfaltigsten Verhältnisse zueinander haben.`` In unserer Sprache ausgedrückt behauptet hier Bolzano: Sind zwei Mengen unendlich, so kann es eine bijektive Funktion von der einen in die andere Menge geben, obwohl eine Menge echter Teil der anderen ist. Im wesentlichen ist dies die Kennzeichnung unendlicher Mengen durch Dedekind. Dies belegt wieder die These. Nichts ganz neues gibt es unter der Sonne. Mathematik ist eben nachdenken. Bolzano belegt seine These, indem er die die bijektive Funktion

  $$f:[0,5] \ni x \mapsto \frac{5}{12}x\in [0,12]$$

  
  
  diskutiert. Es ist $[0,5]$ eine echte Teilmenge von $[0,12]$ und dennoch ist $f$ eine bijektive Funktion.
• Etwas undeutlicher hatte schon Galilei dies bemerkt. Ich zitiere nach [Ruc89, Seite 19] ,,Unendlich ist die Anzahl aller Zahlen, unendlich die der Quadrate, unendlich die der Wurzeln, weder ist die Menge der Quadrate kleiner als die der Zahlen,noch ist die Menge der letzteren größer; und schließlich haben die Attribute des Gleichen, des Größeren und des Kleineren nicht statt bei Unendlichem, sondern sie gelten nur bei endlichen Größeren`` Wir werden später sehen. Die Behauptung Galileis stimmt nur in ihrem ersten Teil. Cantor hat den zweiten Teil der Behauptung widerlegt.

• Aus Giordano Bruno: Zitiert nach : ,,Der Weg der Physik`` [Sam78, Seite 252 ff]