Multiplikation

Die Methode aus 3.4 kann wiederholt angewendet werden.

Erklärung 3.5   Zu jedem $ a\in \mathbb{N}$ macht die Abbildung

$\displaystyle a+:\mathbb{N}\ni b\mapsto a+b\in\mathbb{N}$

aus $ \mathbb{N}$ eine einstellige Algebra. Es gibt also genau einen Homomorphismus:

$\displaystyle m(a,-):\mathbb{N}\ni b\mapsto m(a,b)\in \mathbb{N}$

mit $ m(a,0)=0$ und $ m(a,b+1)= p(a,-)(m(a,b))=p(a,m(a,b))$. Anders geschrieben: $ m(a,b+1)=a+m(a,b)=m(a,b)+a.$ Die letzte Gleichung gilt wegen der Kommutativität der Addition. Für $ m(a,b)$ schreiben wir wieder $ a\cdot b$.

Abbildung 8: Multiplikation
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Die gerade vereinbarte Anpassung der Schreibweise an die Gewohnheit hat einen Nachteil. Sehen wir einen Term, so denken wir zu sehr an die gewohnte Addition, dabei ist es ja eigentlich noch ganz offen welche Addition gemeint ist. Auch müssen wir Vorrangregeln einführen. So hat ein Term $ a\cdot b+a\cdot c$ nur dann Sinn, wenn Punkt vor Strich vereinbart wurde.

Satz 3.7 (Eigenschaften der Multiplikation)  
  1. Für alle $ a\in$   $ \mbox{$\mathbb{N}$}$ ist $ a\cdot 1=a$.
  2. (Rechtsdistributivität) Für alle $ a,b,c\in \mathbb{N}$ gilt: $ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c.$ Dabei ist die Gleichung mit der Vereinbarung Punkt vor Strich zu lesen.
  3. (Linksdistributivität) Für alle $ a,b,c\in \mathbb{N}$ gilt: $ (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c.$
  4. (Kommutativgesetz) Für alle $ a,b\in \mathbb{N}$ ist $ a\cdot b=b\cdot a$.
  5. (Assoziativgesetz) Für alle $ a,b,c\in \mathbb{N}$ gilt:

    $\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Beweis:Zu 1.: Da die Multiplikation mit $ a$ für jedes $ a$ ein Homomorphismus ist, ist

$ a\cdot 1 =m(a,s(0))=a+m(a,0)=a+0=a.$

Zu 2.: Die Abbildungen

$\displaystyle f:$   $\displaystyle \mbox{$\mathbb{N}$}$$\displaystyle \ni x$ $\displaystyle \mapsto$ $\displaystyle m(a,b+x)\in$   $\displaystyle \mbox{$\mathbb{N}$}$  
$\displaystyle h:$$\displaystyle \mbox{$\mathbb{N}$}$$\displaystyle \ni x$ $\displaystyle \mapsto$ $\displaystyle m(a,b)+m(a,x)\in$   $\displaystyle \mbox{$\mathbb{N}$}$  

sind beides Homomorphismen $ ($$ \mbox{$\mathbb{N}$}$$ ,s)\rightarrow ($$ \mbox{$\mathbb{N}$}$$ ,a+)$. Es ist $ s$ wieder die Nachfolgefunktion. Denn $ f(s(x))=m(a,b+s(x))=m(a,s(b+x))=a+m(a,b+x)a+f(x)$. Und es ist $ h(s(x))=m(a,b)+m(a,s(x)))=m(a,b)+(a+m(a,x))=a+(h(x))$. Wir sehen die Assoziativität und die Kommutativität der Addition war hier wichtig. Außerdem ist $ f(0)=m(a,b)=h(0)$. Also sind die beiden Funktionen gleich. Das heißt für beliebige $ a,b$ ist $ f(c)=m(a,b+c)=h(c)=m(a,b)+m(a,c)$.

Zu 3.: Wieder durch Induktion nach $ c$. Es ist $ (a+b)\cdot 0=0=a\cdot 0+b\cdot 0.$ Außerdem ist $ (a+b)(c+1)=(a+b)\cdot c+(a+b)=a\cdot c+b\cdot c+ (a+b)=(a\cdot
c+a)+(b\cdot c+b)=a\cdot (c+1)+b\cdot(c+1)$.

Zu 4.:

Zunächst ist $ 0=0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a$. Also ist $ 0=0\cdot a$ wegen der Kürzbarkeit. Sei wieder

$\displaystyle T=\{b\vert a\cdot b=b\cdot a\}.$

Weiter sei $ b\in T$. Dann ist $ a\cdot (b+1)=a\cdot b+a=b\cdot a+a=(b+1)\cdot a$. Daher folgt die Behauptung.

Zu 5: Es ist $ (a\cdot b)\cdot 0=a\cdot (b\cdot 0)=a\cdot 0=0$ Sei

$\displaystyle T=\{c\vert(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\}$

$ T$ ist gegenüber Nachfolgern abgeschlossen. Denn $ (a\cdot b)\cdot (c+1)=(a\cdot b)\cdot c+ (a\cdot b)=a\cdot (b\cdot c)+
a\cdot b=a\cdot (b\cdot c+b)=a\cdot (b \cdot (c+1))$. Das war zu zeigen. $ \Box$

Hinweise:

  1. $ ($$ \mbox{$\mathbb{N}$}$$ ,a+)$ ist keineswegs mehr eine zyklische einstellige Algebra. Ist beispielsweise $ a=2$, so ist $ \{0,1\}$ eine Basis von $ ($$ \mbox{$\mathbb{N}$}$$ ,2+)$

Andreas Bartholome 2005-03-06