aus
eine einstellige Algebra.
Es gibt also genau einen Homomorphismus:
mit und
.
Anders geschrieben:
Die letzte Gleichung gilt wegen der Kommutativität der Addition.
Für schreiben wir wieder .
Abbildung 8:
Multiplikation
Die gerade vereinbarte Anpassung der Schreibweise an die Gewohnheit hat einen
Nachteil.
Sehen wir einen Term, so denken wir zu sehr an die gewohnte Addition, dabei
ist es ja eigentlich noch ganz offen welche Addition gemeint ist.
Auch müssen wir Vorrangregeln einführen. So
hat ein Term
nur dann Sinn, wenn Punkt vor Strich
vereinbart wurde.
Satz 3.7 (Eigenschaften der Multiplikation)
Für alle
ist
.
(Rechtsdistributivität) Für alle
gilt:
Dabei ist die Gleichung mit der Vereinbarung Punkt vor Strich zu lesen.
(Linksdistributivität)
Für alle
gilt:
(Kommutativgesetz)
Für alle
ist
.
(Assoziativgesetz)
Für alle
gilt:
Beweis:Zu 1.: Da die Multiplikation mit für jedes ein Homomorphismus ist, ist
Zu 2.:
Die Abbildungen
sind beides Homomorphismen
. Es ist
wieder die Nachfolgefunktion.
Denn
.
Und es ist
.
Wir sehen die Assoziativität und die Kommutativität der Addition war hier
wichtig.
Außerdem ist
. Also sind die beiden Funktionen gleich.
Das heißt für beliebige ist
.
Zu 3.:
Wieder durch Induktion nach .
Es ist
Außerdem ist
.
Zu 4.:
Zunächst ist
.
Also ist
wegen der Kürzbarkeit.
Sei wieder
Weiter sei . Dann ist
.
Daher folgt die Behauptung.
Zu 5:
Es ist
Sei
ist gegenüber Nachfolgern abgeschlossen.
Denn
. Das war zu zeigen.
Hinweise:
ist keineswegs mehr eine zyklische einstellige Algebra.
Ist beispielsweise , so ist eine Basis von