Die natürlichen Zahlen

,,Aber ich weiß sehr wohl, dass gar mancher in den schattenhaften Gestalten, die ich ihm vorführe, seine Zahlen, die ihn als treue und vertraute Freunde durch das ganze Leben begleitet haben, kaum wiedererkennen mag; er wird durch die lange, der Beschaffenheit unseres Treppenverstandes entsprechenden Reihe von einfachen Schlüssen, durch die nüchterne Zergliederung der Gedankenreihen, auf denen die Gesetze der Zahlen beruhen, abgeschreckt und ungeduldig darüber werden, Beweis für Wahrheiten verfolgen zu sollen, die ihm nach seiner vermeintlichen inneren Anschauung von vorneherein einleuchtend und gewiss erscheinen``[Ded65, Seite IV]

Erklärung 3.4   Wegen Satz 2.8 gibt es zu jedem $n\in \mathbb{N}$ genau einen Homomorphismus $p(n,-):\mathbb{N}\ni m\mapsto p(n,m)\in \mathbb{N}$ mit $p(n,0)=n$. Wir erklären:

$$p(-,-):\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ni (a,b)\mapsto p(a,b)\in \mathbb{N}$$

In der Bezeicnung $p(a,-)$ bedeutet $-$ eine Leerstelle. Dahin werden die Argumente geschrieben.

Satz 3.6   Mit der Definition3.4 gilt:

1. $p$ ist in jedem Argument ein Homomorphismus.
2. Für alle $k\in \mathbb{N}$ und alle $a,b\in \mathbb{N}$ gilt:

   Ist $p(a,k)=p(b,k)$ so ist $a=b$.

3. Für alle $a,b\in \mathbb{N}$ gilt: $p(a,b)=p(b,a)$.
4. Für alle $a,b,c\in \mathbb{N}$ gilt: $p(a,p(b,c))=p(p(a,b),c)$.

Die Verknüpfung 3.4 definiert auf $\mbox{$\mathbb{N}$}$ die Struktur einer regulären kommutativen Halbgruppe.

Beweis:Zu 1.: $p(s(a),-)$ ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus mit $p(s(a),0)=s(a).$ Aber auch $f=s(p(a,-))$ ist ein solcher Homomorphismus mit $f(0)=s(p(a,0))=s(a).$ Also sind beide Homomorphismen gleich.

Zu 2.: Ist $p(a,0)=p(b,0)$ so ist $a=b$. Sei die Behauptung richtig für $k\in \mathbb{N}$. Wir betrachten $p(a,s(k))=p(b,s(k))$. Dann ist $s(p(a,k))=s(p(b,k))$. Also ist, da $s$ injektiv ist: $p(a,k)=p(b,k)$. Daher ist $a=b$.

Zu 3.: $p(a,-)$ ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus mit $p(a,0)=a$. Auch $p(0,a)=a$. Denn $p(0,-)$ ist der eindeutig bestimmte Homomorphismus mit $p(0,0)=0$. Also ist $p(0,-)=Id_{A}$ und damit $p(0,a)=a$. Daher sind die Homomorphismen $p(a,-)$ und $p(-,a)$. gleich.

Zu 4.: Die Abbildungen $p(a,p(b,-))$ und $p(p(a,b),-)$ sind gleich. $\Box$

Für die Verknüpfung $p$ schreiben wir $+$ und in der normalen mathematischen Schreibweise schreiben wir den Operator zwischen die Argumente. Ab jetzt schreibe ich wieder wie gewohnt $a+b$ für $p(a,b)$ und $1$ für $s(0)$. In dieser altbekannten Schreibweise ist: $a+1=p(a,s(0))=s(p(a,0))=s(a)$.