Ergänzung:Verallgemeinerung von Fermat

Wir können den kleinen Satz von Fermat wesentlich verallgemeinern:
\begin{satz}
Ist $G$\ eine endliche Gruppe und $a\in G$, so ist $a^{ord(G)}=e$.
\end{satz}

\begin{Beweis}
Zunächst sei die Gruppe kommutativ. Wir verwenden denselben Bewe...
...G}g=\prod\limits_{g\in G}g
\end{equation*}und daher $a^{ord(G)}=e$.
\end{Beweis}
Auch wenn G nicht kommutativ ist, die von a erzeugte Untergruppe U = {az| z $ \in$ $ \mbox{$\mathbb Z$}$} ist es sicherlich. Nun ist ord (G) = ord (U) . [U : G]. Daher ist e = aord(U) = (aord(U))[U:G] = aord(G).

Aufgaben:

  1. Wir hatten die Caesar- Verschlüsselungen kennen gelernt. Das heißt: Ist m $ \in$ $ \mbox{$\mathbb{N}$}$, so ist: S : $ \mbox{$\mathbb Z /{m} \mathbb Z$}$ : $ \ni$ x $ \mapsto$ a . x + b $ \in$ $ \mbox{$\mathbb Z /{m} \mathbb Z$}$ mit a, b $ \in$ $ \mbox{$\mathbb Z$}$ eine Caesar-Verschlüsselung, falls S bijektiv ist.
    1. Wieviel Caesar-Verschlüsselungen gibt es für m = 31?
    2. Wieviel Caesar-Verschlüsselungen gibt es für m = 26 oder m = 256?
    3. Zeige die Menge der Caesar-Verschlüsselungen bilden eine Gruppe Cae(m).
    4. Welche Ordnung hat die von S(x) = 3x + 1 erzeugte Untergruppe von Cae(26)?
    5. Welche Ordnung hat die von S(x) = 5x + 1 erzeugte Untergruppe von Cae(26)?

Andreas 2006-12-05