Lösungen

Lösungen:

1. 1. Nach Fermat ist a^p - a = a ^. (a^p-1 - 1) durch p teilbar. Ist a gerade, so auch a^p - a. Ist a ungerade so ist a^p - a gerade. In jedem Fall ist a^p - a gerade. Daher ist a^p - a durch 2 ^. p teilbar.
   2. Wegen Teil a) ist m⁵ - m durch 10 teilbar.
2. 1. Es ist 2⁶ = 1 mod 7 und 350 = 2 mod 6 Daher ist 2³⁵⁰ = 2² = 4 mod 7.
   2. Es ist 3¹⁶ = 1 mod 17. Außerdem ist 82 = 2 mod 16 Daher ist 3⁸² = 3² = 9 mod 17.
   3. Der Rest geht genauso.
3. 1. m⁷ - m ist durch 2, 3 und 7 teilbar.
   2. Es ist $${\frac{{1}}{{5}}}$$m⁵ + $${\frac{{1}}{{3}}}$$m³ + $${\frac{{7}}{{15}}}$$m = $${\frac{{1}}{{5}}}$$(m⁵ - m) + $${\frac{{1}}{{3}}}$$(m³ - m) + $${\frac{{15}}{{15}}}$$m. Alle drei Summanden sind natürliche Zahlen.