Sätze

$\begin{definition} $a,b$\ sind nat\uml {u}rliche Zahlen $>0$. Der gr\uml {o}\ss... ...ek\uml {u}rzt \index{gr{\uml o}{\uml s}ter gemeinsamer Teiler} \end{definition}$

$\begin{satz}Es ist $d= \mathop{\rm ggT}(a,b) $\ genau dann, wenn $a \mbox{$\mathbb Z$}+ b\mbox{$\mathbb Z$}= d \mbox{$\mathbb Z$}$\ ist. \end{satz}$

Folgerung
Die Gleichung c = ax + by ist bei gegebenem a, b, c genau dann lösbar, wenn der größte gemeinsame Teiler von a und b auch c teilt.

$\begin{satz}[Eigenschaften des ggT] Es gilt: \begin{enumerate} \item $\mathop{\... ...$b$\ die Zahl c, so teilt $a \cdot b$ die Zahl $c$. \end{enumerate}\end{satz}$

$\begin{satz} Das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$\ und $b$\ ist: \par $kgV(a,b) = \displaystyle \frac{a \cdot b}{\mathop{\rm ggT}(a,b)}.$ \end{satz}$

$\begin{definition} Eine nichtleere Menge $U \subset \mbox{$\mathbb Z$}$\ heißt U... ...für alle $a,b \in U$ auch $a-b \in U$\ ist. \index{Untergruppe} \end{definition}$

$\begin{satz} In $\mbox{$\mathbb Z$}$\ ist jede Untergruppe $U$\ von der Form $U=... ...$. Man sagt: Jede Untergruppe von $\mbox{$\mathbb Z$}$\ ist zyklisch. \end{satz}$

Andreas 2006-12-05