Beh.: Für n3 ist 10n > (n + 1) . 117.
Beweis: Für n = 3 ist die Behauptung sicher richtig. Sei k eine natürliche Zahl, für die die Behauptung richtig ist. Das heisst 10k > (k + 1) . 117. Dann gilt: 10k+1 = 10 . 10k > 10(k + 1) . 117. Nun ist 10(k + 1) . 117 > (k + 2) . 117. Damit folgt die Behauptung. Das heißt für alle n3 ist b10n > (n + 1) . 117Q(b). Also können Zahlen mit mehr als drei Stellen die Forderung der Aufgabe nicht mehr erfüllen. Wir haben also nur im Bereich zwischen 1 und 1000 nach solchen Zahlen zu suchen. Dort ergeben sich als einzige Lösungen: 117, 156, 195, 286.
= |
9k+1 - 1 | = | 4x2 + 4x | |
(3k+1)2 | = | (2x + 1)2 | |
3k+1 | = | 2x + 1 |
Andreas 2006-12-05