Lösungen

Lösungen:
  1. Eine natürliche Zahl b hat im 10er System die Form: b = an10n + ... + a0 Dabei sind die a0 bis an Ziffern also $ \le$9. Das heißt es ist b$ \le$10n und die Quersumme von b = Q(n)$ \le$(n + 1)ßcdot9. Wir erhalten für ein b, welches die Forderungen der Aufgabe erfüllt (n + 1) . 9$ \ge$Q(b) = b/13 und daher (n + 1) . 117$ \ge$b$ \ge$10n. Nun gilt die folgende Behauptung:

    Beh.: Für n$ \ge$3 ist 10n > (n + 1) . 117.

    Beweis: Für n = 3 ist die Behauptung sicher richtig. Sei k eine natürliche Zahl, für die die Behauptung richtig ist. Das heisst 10k > (k + 1) . 117. Dann gilt: 10k+1 = 10 . 10k > 10(k + 1) . 117. Nun ist 10(k + 1) . 117 > (k + 2) . 117. Damit folgt die Behauptung. Das heißt für alle n$ \ge$3 ist b$ \ge$10n > (n + 1) . 117$ \ge$Q(b). Also können Zahlen mit mehr als drei Stellen die Forderung der Aufgabe nicht mehr erfüllen. Wir haben also nur im Bereich zwischen 1 und 1000 nach solchen Zahlen zu suchen. Dort ergeben sich als einzige Lösungen: 117, 156, 195, 286.

  2. Fehlt

    1. Eine Zahl, die in der Neunerdarstellung nur aus 1ern besteht ist von der Form 1 + 9 + ... +9k = $\displaystyle {\frac{{9^{k+1}-1}}{{8}}}$. Eine Dreieckszahl ist von der Form $\displaystyle {\frac{{x\cdot (x+1)}}{{2}}}$. Zu überlegen ist daher, ob die Gleichung

      $\displaystyle {\frac{{9^{k+1}-1}}{{8}}}$ = $\displaystyle {\frac{{x\cdot (x+1)}}{{2}}}$    

      für gegebenes k $ \in$ $ \mbox{$\mathbb{N}$}$ eine natürliche Zahl als Lösung hat. Man kann diese Gleichung umformen.
      9k+1 - 1 = 4x2 + 4x  
      (3k+1)2 = (2x + 1)2  
      3k+1 = 2x + 1  

      Die letzte Gleichung hat sicherlich eine Lösung. Also auch die erste. Zum Beispiel ergibt sich für k = 1: 9 = 2x + 1 und daher x = 4 und tatsächlich ist die 4te Dreieckszahl 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 9 + 1.
    2. Sei 2k + 1 eine ungerade Zahl. Dann ist (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1
      • 1.Fallo: k selber ist gerade. Dann bleibt beim Teilen durch 8 der Rest 1 und die Behauptung folgt.
      • k ist ungerade etwa k = 2l + 1. Dann hat man (2k + 1)2 = (4l + 3)2 = 16l2 + 24l + 9 und beim Teilen durch 8 bleibt der Rest 1.

Andreas 2006-12-05